Успоредник и равни отсечки

[ins-]

На продълженията на страните AB и AD на успоредника ABCD са избрани точките M и N, такива, че AM=AN.
P е пресечната точка на отсечките BC и MD, а Q е пресечната точка на отсечките CD и NB. Да се докаже, че
CP=CQ.

[strangerforever]

Нека [tex]AB = CD = a, AD = BC = b, BM = x, CQ = t, CP = v[/tex]
[tex]=> DN = a - b + x[/tex]

[tex]Thales (\angle BQC): \frac{DQ}{QC} = \frac{a-b+x}{b} <=> \frac{a - t}{t} = \frac{a-b+x}{b}[/tex]
[tex]ab - tb = at - bt + xt[/tex]
[tex]t = \frac{ab}{a+x}[/tex]

[tex]Thales (\angle DPC): \frac{PC}{PB} = \frac{a}{x} <=> \frac{v}{b-v} = \frac{a}{x}[/tex]

[tex]vx = ab - av[/tex]
[tex]v = \frac{ab}{a+x}[/tex]

[tex]=> t = v[/tex]