Неравенства с интеграли

[drago]

Нека f e непрекъсната функция [tex]f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}[/tex] със свойството:
[tex]\int_{x}^{1} f(t) \, dt \ge \frac{1-x^2}{2}[/tex], за всяко [tex]x \in [0,1][/tex]. Да се докаже, че: [tex]\int_{0}^{1} f^2(t) \, dt \ge \frac{1}{3}[/tex]

[Mark]

Функцията вляво на първото неравенство е диференцируема(f е непрекъсната), оттук определяме f ≤ x и второто неравенство следва веднага.

[drago]

Функцията вляво на първото неравенство е диференцируема(f е непрекъсната), оттук определяме f ≤ x и второто неравенство следва веднага.

Това не ми носи никаква полезна информация (поне на мен).Не е вярно, че: f ≤ x , ако правилно съм разчел. Напиши нещо по-конкретно, не е нужно всички детайли, но поне да е ясно каква е идеята!
Между другото, проблемът е даван на финален кръг на Румънска олимпиада (за средношколци).

[Mark]

Даа в 1 часа да решаваш задачи наум не е най-доброто нещо.
Ще се пробвам отново, този път по-подробно и надявам се вярно.

Имаме [tex]G(x)=\int_{x}^{1}f(t)dt[/tex], G е интегруема в [tex][0,1][/tex]
[tex]\int_{0}^{1}Gdx=\int_{0}^{1}(\int_{x}^{1}f(t)dt)dx\ge \int_{0}^{1} \frac{1-x^2}{2}=\frac{1}{3}[/tex],
[tex]\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}f(t)dtdx=x\int_{x}^{1}f(t)dt|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}x(-f(x))dx=\int_{0}^{1}xf(x)dx[/tex] използвам, че G е диференцируема.
[tex]\int_{0}^{1}xf(x)dx \ge \frac{1}{3}[/tex], [tex]\int_{0}^{1}2xf(x)dx \ge \frac{2}{3}[/tex]
[tex](f-x)^2 \ge 0, f^2 \ge 2xf-x^2[/tex]Интегрирайки последното получаваме
[tex]\int_{0}^{1} f^2dx\ge \int_{0}^{1} 2xfdx-\int_{0}^{1}x^2 \ge \frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}[/tex]

[drago]

Перфектно, става и за учебник!!
Мотивацията: Да се интегрира по x от 0 до 1 неравенството в условието. След това се сменя реда на интегрирането (или интегриране по части, както си направил в случая,когато f e непрекъсната) и се получава оценка отдолу за [tex]\int_0^1 x f(x) \, dx[/tex]. След това се използва неравенството на Коши-Буняковски за да получим оценка отдолу за [tex]\int_0^1 f^2(x) \, dx[/tex]

[vel.angelov]

А може ли ето така:
Забелязваме че :
[tex]\frac{1-x^{2}}{2 } =\int_{x}^{1 } tdt \le \int_{x}^{ 1}f(t)dt[/tex]
[tex]=> t\le f(t) (t\in (x,1) ;x\ge0)[/tex]
[tex]=> t^{2}\le f^{2}(t)[/tex]
[tex]\int_{x}^{ 1}f^{2}(t)dt\ge \int_{x}^{1 } t^{2}dt=\frac{t^{3}}{3 }|_{x}^{1}=\frac{1-x^{3}}{3 }[/tex]
Сега полагаме x=0 и получаваме:
[tex]\int_{0}^{ 1}f^{2}(t)dt\ge\frac{1}{3 }[/tex]

[int]

Ако [tex]\int_{a}^{b }f(x)dx\le \int_{a}^{b }g(x)dx[/tex] не е верно, че [tex]f(x)\le g(x)[/tex] в [a,b]. Само обратното е верно, което колегите използват.