Концентрични окръжности

[Ксения Цочева]

Права линия пресича две концентрични окръжности в точките A,B,C и D в този ред.AE и BF са успоредни хорди по една в двете окръжности.G e петата на перпендикуляра от C към BF и H е петата на перпендикуляра от D към AE.Докажете,че GF=HE.

[ins-]

Хубава задача. От къде е?

Решава се със Синусова теорема.

За да са равни отсечките Н.Д.У е перпендикулярите да са успоредни един на друг (не е нужно непременно ъглите да са прави).

[ganka simeonova]

Хубава задача. От къде е?

Решава се със Синусова теорема.

За да са равни отсечките Н.Д.У е перпендикулярите да са успоредни един на друг (не е нужно непременно ъглите да са прави).

Стига с тези синусови теореми, де! Би ли дал подробно решение със синусова теорема. Задачата е толкова красиво геометрична, че тази син. т-ма я загрозява.

[ganka simeonova]

Успоредни хорди отсичат равни на дъги, на които съответстват равни хорди=>[tex]ALTE-[/tex]равнобедрен трапец.
=>[tex]1)AL=ET; 2)\angle ALB=\angle ETF[/tex]
[tex]S-[/tex]среда на [tex]BF; LT=>3)LB=FT[/tex]
(заб: S и О лежат на една права, не S и О1- грешно съм го отчела на чертежа, но не мога да го променя вече), т.е. SО e симетрала за BF и LT.
От 1); 2); 3)=>еднаквост на [tex]\Delta ALB; \Delta ETF=>AB=FE[/tex], но [tex]AB=CD=>EF=CD[/tex]
Нека О1 е среда на ВС. Тогава триъгълниците [tex]\Delta AHD; \Delta BGC[/tex]са хомотетично с център на хомотетия О1=>
[tex]HG=HO_1-GO_1=O_1D-O_1C=CD=>EF=HG[/tex](**)
[tex]EF||HG[/tex]-защото се получават равни съответни ъгли алфа (виж чертежа)(***)
ОТ (**) и (***)=>[tex]EFGH[/tex]-успоредник=>[tex]EH=FG[/tex]

[ins-]

Грешката ми е пълна ... процесора на машината ми прегрява, замислил съм се в момента над това и съм тръгнал да решавам друга задача.

[ganka simeonova]

Като човек бърза и не мисли е така. Вместо еднакви триъгълници съм ползвал Синусова теорема, няма особен смисъл от нея.

Това по-долу е само скица:

От това, че окръжностите са концентрични => AB=CD => AC=BD.
От успоредните прави => <CAE=<CBF.
От другите 2 успоредни прави (или от това, че правите са перпендикулярни) => <ACG=<BDH.

Следователно триъгълниците ACG и BDH са еднакви (по страна и 2 ъгъла), а CG и HE са равни като съответни страни.

Нещо пак си пооплескал означенията. Я виж, какво трябва да се докаже

[Ксения Цочева]

Задачата е от Олимпиада в Австралия, давана през 1995г.