Оценка с интеграли, проблем от AMM 2011

[drago]

[tex]f[/tex] e два пъти непрекъснато диференцируема реалнозначна функция, [tex]f(0)=0[/tex].
Докажете, че:
[tex]\int_{-1}^{1} (f^{''}(x))^2 \, dx \ge 10 (\int_{-1}^{1} f(x) \, dx)^2[/tex]

[drago]

Няма ли идеи?
като техника е нещо подобно на това:
viewtopic.php?f=10&t=5999&p=29302#p29207
само малко по-усложнено.

[drago]

Идеята е да тръгнем обратно, да вземем [tex]f^{''}[/tex] и по нея да възстановим f. Нека [tex]g=f^{''}[/tex]. Да означим с L операцията, която възстановява f, т.е. f(x) = (L g)(x).
(засега това е малко алангле) Трябва да докажем:
(1) [tex](\int_{-1}^{1} (L g)(t) \,dt)^2 \le \frac{1}{10} \int_{-1}^{1} (g(x))^2 \, dt[/tex]
Сега да изразим експлицитно L.
[tex](L g)(x) = \int_0^{x} (\int_0^{u}g(t) \, dt) \, du + C_1 x + C_2.[/tex]
От условието имаме C_2=0. Tъй като в (1) се интегрира в симетрични граници, C_1 не влияе и може да считаме C_1=0.
Освен това е достатъчно да докажем:
(2) [tex](\int_{0}^{1} (L g)(t) \, dt)^2 \le \frac{1}{20} \int_{0}^{1} (g(x))^2 \, dt[/tex]
Ако (2) е верно с една смяна на променливите x=-y и от неравенството [tex](a+b)^2 \le 2(a^2 + b^2)[/tex] следва (1).
Като се интегрира 2 пъти по части и малко сметки се получава:
[tex]\int_{0}^{1} (L g)(t) \, dt = \int_0^1(\frac{1}{2} -t + \frac{1}{2} t^2) g(t) \, dt[/tex]
От Неравенството на Коши-Шварц следва:
[tex](\int_{0}^{1} (L g)(t) \, dt)^2 \le \int_0^1 (\frac{1}{2} -t + \frac{1}{2} t^2)^2 \, dt \int_0^1 g^2 (t) \, dt[/tex]
Остава да видим, че [tex]\int_0^1 (\frac{1}{2} -t + \frac{1}{2} t^2)^2 \, dt = \frac{1}{20}.[/tex]
Равенството се достига за четната функция g, която в [0,1] е равна на [tex]\frac{1}{2} -t + \frac{1}{2} t^2.[/tex] От тук може да намерие и точно за коя f (в първоначалния смисъл) става това.