Тригонометричен израз

[ins-]

Да се докаже тъждеството:
tg ( π /11) • tg (2 π /11) • tg (3 π /11) • tg (4 π /11) • tg (5 π /11) = [tex]\sqrt{11}[/tex]

[kerry]

Използвах една задача от стария форум

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=4296

и доказах, че произведението от дължините на сините отсечки е [tex]\sqrt{11}[/tex] , а произведението от дължините на червените отсечки е 1.

Но това са дължини съответно на срещулежащи и прилежащи катети в правоъгълни триъгълници с остри ъгли [tex]\frac{\pi}{11}, \frac{2\pi}{11}, \frac{3\pi}{11}, \frac{4\pi}{11}, \frac{5\pi}{11}[/tex]

Ravenstvo.JPG (79.66 KiB) Прегледано 293 пъти

Частното на "синьото произведение" и "червеното произведение" е произведение на тангенсите от условието.

Надявам се някой да предложи по-елегантно решение.

[ins-]

Лесно може да се намери решение с комплексни числа, но ми е интересно може ли да се реши задачата без тях и по друг начин. Според мен - може, но не се сещам как