Кога се достига до точен квадрат?

[rashi101]

Нека [tex]a > 0[/tex] е цяло число и [tex]b = a + [ \sqrt{a} ][/tex] , където с [tex][m][/tex] е означена цялата част на m . С числото b постъпваме по същия начин, т.е. нека [tex]c = b + [ \sqrt{b} ][/tex] . По-нататък нека [tex]d = c + [ \sqrt{c} ][/tex] и продължаваме, докато се получи точен квадрат. Например, ако a = 17 , то последователните стъпки са 21 (17 + 4) и 25 (21 + 4), а ако a = 19 , то последователните стъпки са 23 (19 + 4), 27 (23 + 4), 32 (27 + 5), 37 (32 + 5), 43 (37 + 6) и 49 (43 + 6). Ако a = 2009 , кой е точният квадрат, който се достига по описания начин?

Задачата е давана на национален кръг на кенгуру (през 2009та, естествено (: ).

[martin123456]

май е [tex]203^2[/tex]
довечера или утре ще напиша решение и ще попрегледам сметките

[iboB]

73^2 ?

[martin123456]

Първи членове:
[tex]2009=a_1[/tex]
[tex]a_2=2009+44[/tex]
[tex]a_3=2009+44+45[/tex]
[tex]a_4=2009+44+45+45[/tex]
[tex]a_5=2009+44+45+45+46[/tex]
и тн.

Нека [tex]r^2<a_1<(r+1)^2[/tex], където [tex]a_1[/tex] не е точен квадрат. Значи [tex]r<\sqrt{a_1}<a_1+1 \Rightarrow \[\sqrt{a_1}\]=r[/tex]. Тогава [tex]a_2=a_1+\[\sqrt{a_1}\]=a_1+r[/tex]. Имаме [tex]a_2>r^2+r \Rightarrow \[\sqrt{a_2}\]\ge r[/tex]. Също [tex]a_2=a_1+r<(r+1)^2+r<(r+2)^2 \Rightarrow \[\sqrt{a_2}\]\le r+1[/tex]. Оттук следва, че [tex]\[\sqrt{a_2}\] \in \{r, r+1\}[/tex].
1. [tex]\[\sqrt{a_2}\]=r[/tex]
Имаме [tex]r<\sqrt{a_2}<r+1\Rightarrow r^2< a_2<(r+1)^2[/tex]. Оттук [tex]a_3=a_2+\[\sqrt{a_2}\] =a_2+r=a_1+\[\sqrt{a_1}\]+r=a_1+2r \ge r^1+2r+1=(r+1)^2 \Rightarrow \[\sqrt{a_3}\] \ge r+1[/tex]. От друга страна [tex]a_3=a_2+\[\sqrt{a_2}\]=a_2+r<r^2+3r+1<(r+2)^2 \Rightarrow \[\sqrt{a_3}\]<r+2[/tex]. Значи [tex]\[\sqrt{a_3}\]=r+1[/tex].
2. [tex]\[\sqrt{a_2}\]=r+1[/tex]
Имаме [tex]r+1 \le \sqrt{a_2}<r+2 \Rightarrow a_3=a_2+\[\sqrt{a_2}\]=a_2+r+1<r^2+5r+5<(r+3)^2[/tex] и [tex]a_2=a_2+\[\sqrt{a_2}\] =a_2+r+1 \ge r^2+3r+2 > (r+1)^2[/tex]. Ако допуснем, че [tex]\[\sqrt{a_3}\]=r+2 \Rightarrow a_3 \ge (r+2)^2 \Rightarrow a_2 \ge r^2+3r+3 \Rightarrow a_1 \ge r^2+2r+3 > (r+1)^2[/tex], което е противоречие. Значи [tex]\[\sqrt{a_3}\]=r+1[/tex].

От горните две точки правим извод, че имаме две редици почвайки от [tex]r[/tex]:
[tex]r,r,r+1,r+1, r+2, r+2,\ldots[/tex] и [tex]r, r+1, r+1, r+2, r+2, \ldots[/tex], като изводите са вярни докато не стигнем точен квадрат.

Конкретно за задачата:
Можем да направим извод, че за [tex]a_{2k}=2009+44+2(45+46+\cdots + (k+43))[/tex], a за [tex]a_{2k+1}=2009+44+2(45+46+\cdots + (k+43))+k+44[/tex].
Лесно се пресмята, че [tex]a_{2k}=k^2+87k+1965[/tex] и [tex]a_{2k+1}=k^2+88k+2009[/tex].

За нечетен индекс, за да е точен квадрат: [tex](k+44)^2 + 73=r^2 \Rightarrow (r+k+44)(r-k-44)=73 \Rightarrow
r+k+44=73[/tex] и [tex]r-k-44=1[/tex], oткъдето следва [tex]r=37[/tex].
За четен: [tex]4k^2+4.87k+7860=4r^2 \Rightarrow (2k+174)^2+291=(2r)^2 \Rightarrow (2r+2k+174)(2r-2k-174)=291=3.97[/tex].
Имаме 2 случая: [tex]2r+2k+174=291[/tex] и [tex]2r-2k-174=1[/tex] [tex]\Rightarrow r=73[/tex] или [tex]2r+2k+174=97[/tex] и [tex]2r-2k-174=3[/tex] [tex]\Rightarrow r=25[/tex].

37 и 25 няма как да 'се достигнат', значи 73.

[drago]

Задачата е давана на Putnam, преди доста години, с формулировката: да се докаже, че от което и число да се тръгне, се достига до точен квадрат.
Не е много коректно организаторите на Кенгуру 2009 да дават същата задача.
Идеята на решението е, че разстоянието от член на редицата до най-малкия точен квадрат отдолу, намалява с едно на всяка втора стъпка.