Real values

[man111]

If [tex]x\in\mathbb{R}[/tex] and [tex]a>b>c[/tex] OR [tex]a<b<c[/tex] , then show that [tex]\frac{(x-a)(x-c)}{(x-b)}[/tex] can assume any real values where [tex]x\neq b[/tex]

[pipi langstrump]

Еми нека стойността на [tex]\frac{(x-a)(x-c)}{(x-b)}[/tex] означим с y, т.е. [tex]\frac{(x-a)(x-c)}{(x-b)}=y[/tex]
Като решим това като уравнение относно х, получаваме:
[tex]x^2 - (c+a+y)x + (ac+by) = 0[/tex]
Ако докажем, че D на това уравнение е винаги неотрицателна, за всяко реално y ще можем да намерим даже два реални x, които са му първообрази, което ще означава че функцията горе може да приеме всяка реална стойност.
Имаме [tex]D = (c+a+y)^2 - 4(ac + by)[/tex]. Трябва да докажем, че е неотрицателна за всяко у. Решавайки относно y, получаваме:
[tex]y^2 + (2(c+a) - 4b)y + (c-a)^2\ge 0[/tex]
За да е в сила това за всяко y, трябва дискриминантата на този кв. тричлен да е неположителна, т.е.:
[tex](2(c+a) - 4b)^2 - 4(c-a)^2\le 0[/tex]
[tex](c+a - 2b)^2 - (c-a)^2\le 0[/tex]
[tex](c+a-2b-c+a)(c+a-2b+c-a)\le 0[/tex]
[tex](2a-2b)(2c-2b)\le 0[/tex]
[tex](a-b)(c-b)\le 0[/tex]
Което е изпълнено строго, защото съгласно условието, множителите имат винаги различни знаци.

[man111]

thanks pipi langstrump