Гадна задачица

[dextur33]

Намерете броя на целите положителни решения на уравнението x1+x2+x3+x4=n .

Ще се радвам, ако някой ми помогне с решението

[Martin Nikovski]

Това уравнение спрямо коя променлива е?

[mkmarinov]

Мисля си, че спрямо [tex]x_1, x_2, x_3, x_4[/tex]
В общи линии се пита по колко начина може n да се представи като сбор от 4 естествени числа.

[prodanov]

По много?

Ама да не стане като с бисера от матурата...

[dextur33]

Това уравнение спрямо коя променлива е?

Не знам, мога само да кажа,че отговора е [tex]C_{n-1}^3[/tex]

[dextur33]

По много?

Ама да не стане като с бисера от матурата...

Какъв е този бисер

[prodanov]

27. С помощта на цифрите 0, 1, 8 и 9 са записани всички трицифрени числа с
различни цифри и по случаен начин е избрано едно от тях. Каква е вероятността
това число да се дели на 9?

Решение:
От цифрите 1,0,8,9 могат да се съставят безброй много трицифрени числа. Следователно вероятността никак не е малка! Ето ви и примери 189, 190,180 и т.н.

[BTK Strangler]

27. С помощта на цифрите 0, 1, 8 и 9 са записани всички трицифрени числа с
различни цифри и по случаен начин е избрано едно от тях. Каква е вероятността
това число да се дели на 9?

Решение:
От цифрите 1,0,8,9 могат да се съставят безброй много трицифрени числа. Следователно вероятността никак не е малка! Ето ви и примери 189, 190,180 и т.н.

O_O

[martin123456]

Намерете броя на целите положителни решения на уравнението x1+x2+x3+x4=n .

По-общо разглеждаме [tex]x_1+x_2+\cdots + x_k =n[/tex].
1. [tex]k=2[/tex]
Тогава уравнението е [tex]x_1+x_2=n[/tex]. То има решения [tex](1,n-1),(2,n-2),\ldots +(n-1,1)[/tex], т.е [tex]n-1[/tex] наброй.
2. [tex]k=3[/tex]
Тогава уравнението е [tex]x_1+x_2+x_3=n \Leftrightarrow x_1+x_2=n-x_3[/tex]. Получаваме, че броят на решенията е сума от броя решения на [tex]x_1+x_2=n-x_3[/tex], като движим [tex]x_3[/tex]. По-точно той е [tex]\sum_{i=2}^{n-1}{(i-1)}={n-1 \choose 2}[/tex].
3. [tex]k=4[/tex]
Тогава уравнението е [tex]x_1+x_2+x_3+x_4=n \Leftrightarrow x_1+x_2+x_3=n-x_4[/tex]. Аналогично на горе броят решения е [tex]\sum_{i=1}^{n-1}{{i-1 \choose 2}={n-1 \choose 3}[/tex]

По същия начин може да се докаже, че за [tex]k[/tex] променливи броят решения е [tex]{n-1\choose k-1}[/tex].
Използвана е формулата [tex]\sum_{i=0}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}[/tex].