Естествени числа в геометрична прогресия

[inveidar]

Геометрична прогресия съдържа числата 54 и 128. Намерете всички естествени числа, които са членове на тази прогресия.

[Martin Nikovski]

Нека [tex]a_m=54[/tex], а [tex]a_n=128[/tex]...
Тогава [tex]a_n=a_m.q^{m-n}\ \Rightarrow\ q^{m-n}=\frac{a_n}{a_m } =\frac{128}{54 }=\frac{64}{27 } =\left(\frac{4}{3}\right)^3[/tex]
Очевидно [tex]q=\frac{4}{3 }[/tex]...
Непосредствено проверяваме, че числата в прогресията, по-малки от [tex]54[/tex], не са естествени...
Естествените числа са [tex]a_m=54,\ a_{m+1}=72,\ a_{m+2}=96,\ a_{m+3}=a_n=128[/tex].

[inveidar]

Е, кое му е очевидното, че [tex]q=\frac{4}{3 }[/tex]?! И, между другото, въобще не може да се определи колко е [tex]q[/tex]!

[Martin Nikovski]

Е.. не точно очевидно, но за да е изпълнено условието, трябва или да е [tex]\frac{4}{3}[/tex], или число от вида [tex]\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{n}[/tex], където [tex]n\in N[/tex]... И все пак, всякакви такива варианти според мен са неприемливи за условието да има други естествени числа в редицата (или се препокриват с описания от мен случай)...
Например ако [tex]n=2[/tex], то [tex]q=\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}[/tex] и, както казват физиците, вероятността от израза [tex]54.\left(\frac{2\sqrt3}{3}\right)^k[/tex] да изкараш естествено число освен получените в "оптималния" вариант [tex]q=\frac{4}{3}[/tex], е пренебрежимо малка... Същото се получава и с останалите стойности за [tex]n[/tex] ([tex]n>2[/tex]), както и със случая [tex]q=\frac{64}{27 }[/tex], при който дори се губят две от решенията...

[inveidar]

А защо не [tex]q=\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{m-n}[/tex]?!

[inveidar]

И все пак, всякакви такива варианти според мен са неприемливи за условието да има други естествени числа в редицата (или се препокриват с описания от мен случай)...
Например ако [tex]n=2[/tex], то [tex]q=\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}[/tex] и, както казват физиците, вероятността от израза [tex]54.\left(\frac{2\sqrt3}{3}\right)^k[/tex] да изкараш естествено число освен получените в "оптималния" вариант [tex]q=\frac{4}{3}[/tex], е пренебрежимо малка... Същото се получава и с останалите стойности за [tex]n[/tex] ([tex]n>2[/tex]), както и със случая [tex]q=\frac{64}{27 }[/tex], при който дори се губят две от решенията...

Е, немам думи!!!

[Martin Nikovski]

Добре... има ли други отговори освен посочените от мен. Ако има, то съм пропуснал нещо в разсъжденията си и бих се радвал да видя какво. Наясно съм, че "решението" ми изобщо не е математическо, а по-скоро логическо.

[inveidar]

Отговорите си ги уцелил! Но решението едва ли би ти го признал някой сериозен математик.

[Martin Nikovski]

О.. сигурен съм в това.. Написаното беше просто идея, нахвърляна за около 5 минути.. и ми се струва правилна логически, но само толкова.

[Martin Nikovski]

Хмм... нека пробвам да напиша задачата като хората...
[tex]a_m=54[/tex], [tex]a_n=128[/tex], [tex]a_n=a_m.q^{n-m}\ \Rightarrow\ q^{n-m}=\frac{a_n}{a_m }[/tex]
[tex]q^{n-m}=\frac{128}{54 } =\frac{64}{27 }=\left(\frac{4}{3}\right)^3[/tex]
[tex]q=\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{n-m}}[/tex], при което [tex]n\ne m[/tex]
Елементът "след" [tex]a_m[/tex] е [tex]a_{m+1}=a_m.q=a_m.\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{n-m}}=54.\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{n-m}}=2.3^3.\frac{4^{\frac{3}{n-m}}}{3^{\frac{3}{n-m}}}=2.\frac{4^{\frac{3}{n-m}}}{3^{\frac{3}{n-m}-3} }[/tex]
Търсим кога той е естествено число...
За да е изпълнено това условие, е необходимо степенният показател на [tex]3[/tex]-ката да е цяло отрицателно число.
Ако степенният показател е положително число, в знаменателя остава [tex]3[/tex] на положителна степен, а числителят не се дели на [tex]3[/tex], поради което частното не може да бъде естествено число.
Ако степенният показател не е цяло число (дори и да е отрицателно), в знаменателя остава [tex]3[/tex] на дробна степен, поради което частното отново не може да бъде естествено число.
[tex]\frac{3}{n-m}-3\le 0\ \Rightarrow\ \frac{3-3\left(n-m\right)}{n-m}\le0\ \Rightarrow\ n-m\in \left(-\infty;0 \right)\cup\left[1;+\infty\right)[/tex]
Двете части на интервала съответстват на растяща и намаляваща геометрична прогресия...
Тъй като елементите променят стойността, а само реда си при тези два случая, разглеждам само случая на растяща...
[tex]n-m\in \left[1;+\infty\right)[/tex] и [tex]\frac{3}{n-m }-3[/tex] трябва да е цяло число, следователно [tex]n-m=1\ \cup\ n-m=3[/tex]

1. [tex]n-m=1\ \Rightarrow\ q=\left(\frac{4}{3}\right)^3=\frac{64}{27}[/tex]
Тогава [tex]a_m=54[/tex] и [tex]a_n=128[/tex] са последователни елементи.
Остава да докажем, че елементите преди [tex]a_m[/tex] и елементите след [tex]a_n[/tex] не са естествени числа...
[tex]a_{m-1}=\frac{a_m}{q }=\frac{54}{\left(\frac{4}{3 }\right)^3 } =54.\left(\frac{3}{4}\right)^3[/tex]
[tex]54[/tex] не се дели на [tex]4[/tex], следователно [tex]4[/tex]-ката от знаменателя не може да се съкрати.
Иначе казано, числителят не се дели на [tex]4[/tex], а знаменателят се дели на [tex]4[/tex], поради което частното не може да бъде естествено число. Аналогично се доказва и за останалите елементи, предхождащи [tex]a_m[/tex], тъй като в числителя винаги има число от вида [tex]54.\left(3^3\right)^k[/tex], което не се дели на [tex]4[/tex].
[tex]a_{n+1}=a_n.q =54.\left(\frac{4}{3 }\right)^3[/tex]
[tex]128[/tex] не се дели на [tex]3[/tex], следователно [tex]3[/tex]-ката от знаменателя не може да се съкрати.
Иначе казано, числителят не се дели на [tex]3[/tex], а знаменателят се дели на [tex]3[/tex], поради което частното не може да бъде естествено число. Аналогично се доказва и за останалите елементи, следващи [tex]a_n[/tex], тъй като в числителя винаги има число от вида [tex]128.\left(4^3\right)^k[/tex], което не се дели на [tex]3[/tex].

2. [tex]n-m=3\ \Rightarrow\ q=\frac{4}{3}[/tex] ("оптималният вариант")
Аналогично на 1. доказваме, че елементите преди [tex]a_m[/tex] и елементите след [tex]a_n[/tex] не са естествени числа...
Остават тези, които се намират "между" [tex]a_m=54[/tex] и [tex]a_n=128[/tex].
[tex]a_{m+1}=54.\frac{4}{3}=72[/tex], [tex]a_{m+2}=54.\left(\frac{4}{3}\right)^2=96[/tex]

Окончателните отговори са: [tex]54[/tex], [tex]72[/tex], [tex]96[/tex] и [tex]128[/tex].
П.П. Може би така решението е по-добре?

[inveidar]

Ми не бих казал, че е много по-добре. От къде накъде членът след 54 трябва да е естествено число?

[Martin Nikovski]

Ами, ако той не е, и останалите след него няма да бъдат!
Защото са винаги от вида [tex]54.\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{n-m}}[/tex] и тази тройка в знаменателя никога не може да се съкрати, ако е на степен, по-голяма от [tex]3[/tex].
[tex]54=2.3^3[/tex] и затова [tex]3^3[/tex] е и максималната възможна степен на тройката в знаменателя.

[inveidar]

А 128 не е ли след 54? Как то е естествено число?
Не е ли по-добре да елиминираш частното и то да не ти влиза в разсъжденията? Това го считай за подсказване!

[Martin Nikovski]

Внимавай в поста ми....
Казвам, че всички числа след [tex]54[/tex], за които [tex]\frac{3}{n-m}>3[/tex], не са естествени.
[tex]128=54.\left(\frac{4}{3}\right)^3[/tex], следователно [tex]\frac{3}{n-m }=3[/tex].
Решението ми е вярно, разбира се, не най-рационалното, но вярно..

[inveidar]

Елементът "след" [tex]a_m[/tex] е [tex]a_{m+1}=a_m.q=a_m.\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{n-m}}=54.\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{n-m}}=2.3^3.\frac{4^{\frac{3}{n-m}}}{3^{\frac{3}{n-m}}}=2.\frac{4^{\frac{3}{n-m}}}{3^{\frac{3}{n-m}-3} }[/tex]
Търсим кога той е естествено число...

Не мога да разбера какво имаш впредвид, но като ти чета решението и стигна до горното, спирам да го чета повече!!!

[prodanov]

Нека [tex]x<y; k\in N.[/tex]; [tex]a_x[/tex] и [tex]a_y[/tex] са двата члена, дадени в условието, взети в произволен ред.

1сл): елементите м/у [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] са [tex]2k[/tex]
нека [tex](x<i<j<y;\vspace{} i-x=y-j)[/tex] [tex]\Rightarrow a_i*_aj=a_x*a_y = 6912[/tex].
Или и двата са естествени или нито един. Първия вариант ни интересува. => Търсим двойка числа, между 54 и 128, чието произведение е 3*3*4*4*4*4*3=6912. Единствените двойки числа са (72, 96) и (64,108).

2сл): елементите м/у х и у са [tex]2k+1[/tex]
Ще го бистря по-късно, че утре имам дипломиране.

Решението ми е частично, тъй като разглеждам само между х и y. За останалите предполагам 'тряя повече мисъл. Проблема ми за сега е проверката дали намерения член(извън (x,y)) принадлежи на тая прогресия. А другия случай ми изглежда бая сложен. Средния член a_i лесно се намира, но следват същите 2 случая за членовете между (x,i) и (i,y) и се получава нещо като рекурсия.

[Martin Nikovski]

Добре... нека го напиша така... и спирам, за да отавя математиците да с свършат работата...
Установихме, че [tex]q=\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{n-m}}[/tex], тоест [tex]\frac{4}{3}[/tex] на някаква степен.
Разглеждам случая, в който прогресията е растяща, т.е. [tex]m<n[/tex].
Елементите преди [tex]a_m=54[/tex] са от вида [tex]a_i=\frac{a_m}{q^{m-i} }=\frac{54}{\left(\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{n-m}}\right)^{m-i}}=54.\left(\frac{3}{4 }\right)^{\frac{3\left(m-i\right)}{n-m }[/tex]
Степента не ни интересува, затова за по-кратко писане: [tex]a_i=54.\left(\frac{3}{4}\right)^k[/tex]
Тези елементи не са естествени, защото числителят не се дели на [tex]4[/tex], а знаменателят се дели на [tex]4[/tex].
Дотук спирам, ако си съгласен с разсъжденията ми, ще напиша и останалите случаи.

[mkmarinov]

[tex](\frac{4}{3})^{x}[/tex] е рационално тогава и само тогава, когато [tex]x[/tex] е цяло (БОО естествено).
Нека допуснем противното. [tex]x=\frac{p}{q}, (p,q)=1, q \ne 1,p<q[/tex]
[tex](\frac{4}{3})^{\frac{p}{q}}=\frac{r}{t}, (r,t)=1[/tex]
[tex]t^q(\frac{4}{3})^p=r^q[/tex]
[tex]t^q4^p=r^q.3^p[/tex] => [tex]3/t, 4/r => t=3t_0, r=4r_0[/tex]
[tex]3^qt_0^q4^p=4^qr_0^q3^p[/tex]
[tex]3^{q-p}t_0^q=4^{q-p}r_0^q[/tex]
Откъдето [tex]3/r_0, 4/t_0[/tex], което е противоречие с това, че [tex]r, t[/tex] са взаимно прости.

Оттук [tex]\frac{3}{n-m} \in N[/tex] (т.к. сме приели, че редицата е растяща; а и да е намаляваща - същата е), откъдето [tex]n-m=3[/tex] или [tex]n-m=1[/tex]. Нататък е ясно.

(Нагоре съм изпуснал няколко формализъма, като например защо можем да приемем, че p<q)

[inveidar]

Добре... нека го напиша така... и спирам, за да отавя математиците да с свършат работата...
Установихме, че [tex]q=\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{n-m}}[/tex], тоест [tex]\frac{4}{3}[/tex] на някаква степен.
Разглеждам случая, в който прогресията е растяща, т.е. [tex]m<n[/tex].
Елементите преди [tex]a_m=54[/tex] са от вида [tex]a_i=\frac{a_m}{q^{m-i} }=\frac{54}{\left(\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{n-m}}\right)^{m-i}}=54.\left(\frac{3}{4 }\right)^{\frac{3\left(m-i\right)}{n-m }[/tex]
Степента не ни интересува, затова за по-кратко писане: [tex]a_i=54.\left(\frac{3}{4}\right)^k[/tex]
Тези елементи не са естествени, защото числителят не се дели на [tex]4[/tex], а знаменателят се дели на [tex]4[/tex].
Дотук спирам, ако си съгласен с разсъжденията ми, ще напиша и останалите случаи.

Съгласен!

[inveidar]

[tex](\frac{4}{3})^{x}[/tex] е рационално тогава и само тогава, когато [tex]x[/tex] е цяло (БОО естествено).
Нека допуснем противното. [tex]x=\frac{p}{q}, (p,q)=1, q \ne 1,p<q[/tex]
[tex](\frac{4}{3})^{\frac{p}{q}}=\frac{r}{t}, (r,t)=1[/tex]
[tex]t^q(\frac{4}{3})^p=r^q[/tex]
[tex]t^q4^p=r^q.3^p[/tex] => [tex]3/t, 4/r => t=3t_0, r=4r_0[/tex]
[tex]3^qt_0^q4^p=4^qr_0^q3^p[/tex]
[tex]3^{q-p}t_0^q=4^{q-p}r_0^q[/tex]
Откъдето [tex]3/r_0, 4/t_0[/tex], което е противоречие с това, че [tex]r, t[/tex] са взаимно прости.

Оттук [tex]\frac{3}{n-m} \in N[/tex] (т.к. сме приели, че редицата е растяща; а и да е намаляваща - същата е), откъдето [tex]n-m=3[/tex] или [tex]n-m=1[/tex]. Нататък е ясно.

(Нагоре съм изпуснал няколко формализъма, като например защо можем да приемем, че p<q)

Защо реши, че [tex](\frac{4}{3})^{x}[/tex] трябва да е рационално?

[Martin Nikovski]

ОК... Аналогично елементите след [tex]a_n=128[/tex] са от вида [tex]a_i=128.\left(\frac{4}{3}\right)^k[/tex]
Числителят не се дели на [tex]3[/tex], а знаменателят се дели на [tex]3[/tex], следователно елементите не се естествени числа...
Остават числата между [tex]54[/tex] и [tex]128[/tex]...

[mkmarinov]

Ако не е рационално, и [tex]54.(\frac{4}{3})^x[/tex] няма да е рационално. Тогава прогресията няма да бъде такава от рационални числа, а се иска да е от естествени.

[inveidar]

ОК... Аналогично елементите след [tex]a_n=128[/tex] са от вида [tex]a_i=128.\left(\frac{4}{3}\right)^k[/tex]
Числителят не се дели на [tex]3[/tex], а знаменателят се дели на [tex]3[/tex], следователно елементите не се естествени числа...
Остават числата между [tex]54[/tex] и [tex]128[/tex]...

Така е. И после?

[inveidar]

Ако не е рационално, и [tex]54.(\frac{4}{3})^x[/tex] няма да е рационално. Тогава прогресията няма да бъде такава от рационални числа, а се иска да е от естествени.

Е, айде сега, ще се лъжем ли? Това е друго хикс. Не е онова същото!

[Martin Nikovski]

Така... останаха числата между [tex]54[/tex] и [tex]128[/tex].
Те са от вида [tex]a_i=54.\left(\frac{4}{3}\right)^k=2.3^3.\left(\frac{4}{3}\right)^k[/tex]
Тъй като в числителя имаме [tex]3^3[/tex], то в знаменателя може да има най-много [tex]3^3[/tex]. В противен случай се получава същото като с елементите след [tex]128[/tex] - числителят не се дели на [tex]3[/tex], а знаменателят се дели на [tex]3[/tex]. Иначе казано: [tex]k\le 3[/tex]
[tex]k=\frac{3\left(i-m\right)}{n-m }>0[/tex], понеже [tex]i>m[/tex] (разглеждаме елементите след [tex]a_m[/tex])
Тъй като [tex]k>0[/tex] и [tex]k\le 3[/tex] разглеждаме [tex]3[/tex] случая:
1. [tex]k=1[/tex], при което [tex]a_i=54.\frac{4}{3}=72[/tex]
[tex]a_{i+1}=a_i.\frac{4}{3}=72.\frac{4}{3}=96[/tex]
[tex]a_{i+2}=a_{i+1}.\frac{4}{3}=96.\frac{4}{3}=128[/tex]
За елементите след [tex]128[/tex] вече знаем, че не са естествени.
2. [tex]k=2[/tex], при което [tex]a_i=54.\left(\frac{4}{3}\right)^2=96[/tex]
[tex]a_{i+1}=a_i.\left(\frac{4}{3}\right)^2=96.\left(\frac{4}{3}\right)^2=170\frac{2}{3}[/tex], което не е естествено.
Числата след него също не са естествени, защото са след [tex]128[/tex].
3. [tex]k=3[/tex], при което [tex]a_i=54.\left(\frac{4}{3}\right)^3=128[/tex], след което (вече знаем защо) числата не са естествени...
Окончателно: естествените числа в тази ГП са [tex]54[/tex], [tex]72[/tex], [tex]96[/tex] и [tex]128[/tex].