Среди и окръжност

[ins-]

Около триъгълник ABC е описана окръжност k. K е средата на дъгата AB, несъдържаща C. L и M са средите на страните AC и BC. N и P са пресечните точки на KL и KM с k. Да се докаже, че L, M, N и P лежат на една окръжност.

[ins-]

Не знам дали това помага да се реши задачата, но твърдението е в сила за всеки две точки L и М, за които AL/LC=BM/MC.
Какво мислите за тази задача? Идеи за решение?

[martin123456]

Можем да докажем,чe [tex]\angle NLM + \angle NPM = 180^\circ[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \angle NLC + \angle CLM + \angle NPK = 180^\circ[/tex].
Тъй като [tex]LM || AB \Rightarrow \angle CLM = \angle CAB[/tex].
Сега това което трябва да докажем е [tex]\Leftrightarrow \stackrel \frown {NC}+\stackrel \frown {AK}+\stackrel \frown {CP} +\stackrel \frown {PB}+\stackrel \frown {NA} +\stackrel \frown {AK} =180^\circ[/tex], което е вярно, тъй като [tex]\stackrel \frown {AK} =\stackrel \frown {KB}[/tex].

[ins-]

красиво решение.
Забелязах твърдението вчера, но се чудех как се решава, а то било даже по-лесно, отколкото очаквах.