Три среди и равни отсечки

[ins-]

Около триъгълник ABC е описана окръжност k. M е средата на страната AB. Средата на дъгата AC (несъдържаща B) е означена с N, а средата на дъгата BC (несъдържаща A) - с P. NM пресича k в точка K. PM пресича k в точка L. Ако X е пресечната точка на AC и LN, а Y е пресечната точка на BC и KP - да се докаже, че AX=BY.

[martin123456]

От т-ма на Менлай за [tex]\Delta MX_1A[/tex] и права [tex]XX_2[/tex]: [tex]\frac{MX_2}{AX_2}.\frac{AX}{XX_1}.\frac{X_1N}{NM}=1[/tex]. За [tex]\Delta MBY_1[/tex] и права [tex]YY_2[/tex]: [tex]\frac{MY_2}{Y_2B}.\frac{BY}{YY_1}.\frac{Y_1P}{PM}=1[/tex].

От т-мата за пеперудата имаме [tex]AX_2=BY_2[/tex]. Оттук, понеже [tex]M[/tex] е среда, излиза [tex]X_2M=MY_2[/tex]. Тъй като искаме да докажем, че [tex]AX=BY[/tex], взимайки предвид горните излиза, че е достатъчно да докажем [tex]\frac{X_1N.YY_1.PM}{X_1X.NM.Y_1P}=1[/tex].

Нека [tex]\angle LNK = \alpha[/tex], [tex]\angle NXX_1=\beta[/tex], [tex]\angle Y_1YP=\gamma[/tex].
От синусова т-ма за [tex]\Delta XX_1N[/tex]: [tex]\frac{X_1N}{XX_1}=\frac{\sin{\beta}}{\sin{\alpha}}[/tex].
От синусова т-ма за [tex]\Delta YY_1P[/tex]: [tex]\frac{YY_1}{Y_1P}=\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\gamma}}[/tex].
Имаме [tex]\angle MNP=\frac{\stackrel \frown {KB}+\stackrel \frown {BP} }{2}=\frac{\stackrel \frown {KB}+\stackrel \frown {CP} }{2}=\gamma[/tex] и аналогично [tex]\angle KPN=\beta[/tex]. Оттук [tex]\frac{PM}{NM}=\frac{\sin{\gamma}}{\sin{\beta}}[/tex]. Като ги умножим излиза.

[ins-]

Браво на Мартин за решението! Задачата може да се реши без теорема на Менелай. Вероятно може да се опрости допълнително и след това решението, но иска повече време и мислене. Дано да е била забавна задачката.