Квадрат

[ins-]

Даден е квадрата ABCD. Точките M и N са избрани съответно на страните AD и BC, така че AM=BN. P е петата на перпендикуляра спуснат от D към AN. Да се докаже, че <MPC е прав.

Задачата допуска повече от 1 решение и не е особено сложна /според мен е като за общински или областен кръг на олимпиада/. Мислех да я предложа за някое списание или състезание, но не ми се занимава с формалности, а и така ще я видят повече хора. Дано да Ви хареса. Може и някой да я е откривал преди мен. Виждал съм нещо подобно на Всерусийска олимпиада.

[Baronov]

[tex]\angle PDM=\angle PDA = 90-\angle PAD = 90-\angle PAM = \angle PNM[/tex] от тук следва, че MPND е вписан, следователно [tex]\angle MPC = 180-\angle MDC = 90[/tex]

[martin123456]

искаме да док, че [tex]\angle MPA = \angle DPC[/tex]. тъй като [tex]\angle MAP= \angle PDC[/tex] е дост да док, че триъгълниците [tex]AMP[/tex] и [tex]DCP[/tex] са подобни, за което е дост да док, че [tex]AP/AM=DP/DC[/tex]<=>[tex]AP/DP=AM/CD[/tex]. лявата страна е [tex]ctg\alpha[/tex], [tex]\alpha=\angle DAP[/tex]. дясната страна е [tex]BN/AB[/tex]. но ъгъл [tex]ANB=\alpha[/tex]=>отношението е [tex]ctg\alpha[/tex].

[ins-]

If K is the intersection point of AB and DP then AK=BN=AM because if we rotate square on 90 degrees clockwise such that point A becomes to point B line PK becomes to the line AN. Triangles APM and DPC are similar because /_PDC=/_PAM and AP/AM=AP/AK=DP/DA=DP/DC so /_APM=/_DPC => /_MPC is a right angle

Това е решението на един приятел от Украйна. Извинявам се, че е на английски език. Ако бях тръгнал да я решавам аз щеше да изпиша един тон хартия и да приложа 100 теореми, затова не пускам друго решение, но има поне още едно. Благодаря на всички, пуснали решения.

Искам само да попитам дали знаете, откривана ли е задачата преди мен и да вметна, че за да е коректно твърдението не е необходимо ABCD да е квадрат, а само правоъгълник.