Едно функционално уравнение

[epsilonomega]

Да се намерят всички функции ∫(∫(n)+1) - ∫(∫(n)-1) = n^3 +8
∫: Z - Z

[drago]

Оказва се по-лесна отколкото изглежда.
[tex](1) f(f(n)+1) - f(f(n)-1) = n^3 + 8[/tex]
Първо едно наблюдение. [tex]f[/tex] e инекция, т.е. от [tex]m \neq n \, \Rightarrow \, f(m) \neq f(n)[/tex].
Допускаме противното, слагаме [tex]m[/tex] и [tex]n[/tex] в (1), левите страни са равни, следва: [tex]m^3+8 = n^3+8 \, \Rightarrow \, m=n[/tex].

Нататък, като сложим [tex]n=-2[/tex] в (1) се получава:
[tex]f(f(-2)+1) = f(f(-2)-1)[/tex]
Това само означава, че няма функции [tex]f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}[/tex], които да удовлетворяват (1).