Интересна и сравнително лесна задача - Питагорова тройка

[strangerforever]

Съществува само една Питагорова тройка ([tex]a < b < c, a,b,c \in N, a^2 + b^2 = c^2[/tex]), за която е изпълено [tex]a + b + c = 1000[/tex]. Да се намери [tex]abc[/tex].

[dim]

[tex]a+b+c=(m^2-n^2)+2mn+(m^2+n^2)=2m^2+2mn=1000[/tex], [tex]m(m+n)=500=2^2.5^3[/tex]. Обаче последното има повече от едно решение, което противоречи на условието. Странно.

[mail_dinko]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=a% ... 0+%26%26+a^2%2Bb^2%3Dc^2+%26%26+a%3E0++%26%26+b%3E0+%26%26+c%3E0

[dim]

А да. Числата са натурални, а не само цели. Тогава m=20, n=5 (т.е. имаме ограничението m>n) са само решения. Още спа .Лесна задачака

[prodanov]

Последно как се решава?

[dim]

Ами търсим решения на у-то [tex]m(m+n)=500=2^2.5^3[/tex] за [tex]m>n[/tex], [tex]m,n\in N[/tex]. Лесно се вижда, че това е само [tex]m=20,n=5[/tex](пропускам разглеждането на вариантите) и след това намираме[tex]a=m^2-n^2[/tex], [tex]b=2mn[/tex], [tex]c=m^2+n^2[/tex], оттам и произведеноето [tex]abc=(400-125)(2.20.5)=375.200.425[/tex]. Проверка: [tex]375+200+425=1000[/tex].