x + y, x - y, x + z, x - z, y + z, y - z да са квадрати

[strangerforever]

Дадени са целите числа [tex]x, y, z[/tex], като [tex]x > y > z > 0[/tex]. Намерете най-малката стойност на [tex]x + y + z[/tex], така че [tex]x + y, x - y, x + z, x - z, y + z, y - z[/tex] да са точни квадрати.

[martin123456]

[tex]x+y=a_1^2[/tex], [tex]x-y=a_2^2[/tex], [tex]x+z=a_3^2[/tex], [tex]x-z=a_4^2[/tex], [tex]y+z=a_5^2[/tex], [tex]y-z=a_6^2[/tex].
1-3: [tex]a_1^2=a_6^2+a_3^2[/tex] (1)
1-4: [tex]a_1^2=a_4^2+a_5^2[/tex] (2)
2-3: [tex]a_3^2=a_2^2+a_5^2[/tex] (3)
2-4: [tex]a_4^2=a_2^2+a_6^2[/tex] (4)
Ще проверим че това са различни питагорови тройки.
(1) и (2): ако [tex]a_6=a_4[/tex], то [tex]y-z=x-z \Rightarrow x=y \Rightarrow \empty[/tex]. Ако пък [tex]a_6=a_5 \Rightarrow y+z=y-z \Rightarrow z=0 \Rightarrow \empty[/tex].
(1) и (3): значи [tex]a_1=a_3 \Rightarrow y=z \Rightarrow \empty[/tex]
(1) и (4): значи [tex]a_1=a_4 \Rightarrow y=-z \Rightarrow \empty[/tex]
(2) и (3): значи [tex]a_1=a_3[/tex] - показахме, че не става
(2) и (4): значи [tex]a_1=a_4[/tex] - показахме, че не става
(3) и (4): значи [tex]a_3=a_4 \Rightarrow z=0 \Rightarrow \empty[/tex]

Да забележим, че [tex]a_6=\min\{a_3,a_4,a_5\}[/tex]. Също, ако сме идентифицирали [tex]a_6[/tex] другото число в тройката с [tex]a_6[/tex] трябва да е [tex]c[/tex] на някоя питагорова тройка - [tex]a_3[/tex], както и поне едно от числата в другата тройка, със същото [tex]c[/tex] - [tex]a_4[/tex].

От (1) и (2) излиза че имаме питагорови тройки с едно и също [tex]c[/tex].
Аз си направих списък с такива. Ето 1вите няколко от тях:
(63,16,65) (33,56,65)
(13,84,85) (77,36,85)
(117,44,125) (75,100,125)
(32,126,130) (112,66,130)
(143,24,145) (17,144,145)
(168,26,170) (72,154,170)
(57,176,185) (153,104,185)
(133,156,205) (187,84,205)
(21,220,221) (171,140,221)
(200,150,250) (88,234,250)
(132,224,260) (252,64,260)
(23,264,265) (247,96,265)
(288,34,290) (48,286,290)
(273,136,305) (207,224,305)
(323,36,325) (253,204,325) (125,300,325)
(52,336,340) (308,144,340)
(357,76,365) (27,364,365)
(208,306,370) (352,114,370)
(345,152,377) (135,352,377)
(312,266,410) (168,374,410)
(375,200,425) (297,304,425) (87,416,425)
(319,360,481) (31,480,481)

65 отпада, понеже [tex]a_6=16[/tex], но [tex]63[/tex] не е [tex]c[/tex] на никоя питагорова 3ка.
85 отпада по същата причина. 125 - (45,108,117) и 117 е [tex]c[/tex] - (45,108,117), а за [tex]a_4[/tex] остава възможността 100 - (28,96,100). Получаваме [tex]a_1=125[/tex], [tex]a_3=117[/tex], [tex]a_4=100[/tex], [tex]a_5=75[/tex], [tex]a_6=44[/tex], но следва невъзможно, понеже от равенството за [tex]a_4[/tex].
После имаме 130, no 126 не е [tex]c[/tex] - отпада. После 145, но 143 не е [tex]c[/tex] на питагорова 3ка. После 170 - отпада по същата причина. 185-пак. 205 - пак. 221-пак. 250 - (216,90,234), трябва да имаме [tex]c[/tex] сред 200 и 150 - (192,56,200) - излиза, че [tex]a_6=88[/tex], [tex]a_3=234[/tex], [tex]a_4=200[/tex], [tex]a_5=150[/tex]. Проверяваме (3) - не. После 260 - отпада. 265-отпада. 290 - отпада. 305 - отпада. 325-не. 340-не. 365-не. 370-не. 377-не. 410-не. 425 - тук имаме няколко 2ки възможни. Нека едната е (87,416,425), значи [tex]a_6=87[/tex], [tex]a_3^2=416^2=384^2+160^2[/tex], от другите 2 двойки гледаме дали има [tex]c[/tex] сред 1вите 2 компонента- (192,56,200) само. значи [tex]a_4=200[/tex], [tex]a_5=375[/tex]. Проверка (3) - не. Последно ще проверим 481. Отпада.

Не знам как да го опростя повече