Вписан четириъгълник и равни отсечки

[ins-]

Четириъгълникът ABCD с пресечна точка на диагоналите P е вписан в окръжност с център O. М и N са петите на перпендикулярите от P съответно към AD и BC. K и L са пресечните точки на PM и PN съответно с BC и AD, а Q e пресечната точка на KL и OP. Да се докаже, че Q е среда на KL.

[inveidar]

Като начало да отбележа, че [tex]\frac{AL}{LD }=\frac{BK}{KC }[/tex]. За това дават ли се някакви точки?
После нещо ми намирисва на вектори, но знае ли човек накъде ще го духне вятърът?!

[ins-]

Задачата не е за точки, а за забавление.
Вероятно има много решения. Зависи на човек как му е най-приятно и в какво се чувства сигурен или иска да се развива и му е по вкуса.

[inveidar]

Задачата не е за точки, а за забавление.

Стига, бе, верно?!

[inveidar]

Просто исках да попитам дали това дето съм открил ще помогне при решението на задачат? Дай малко чувство за хумор де!

[ins-]

Кой знае, може да помогне, а може и да не помогне ... аз съм един прост програмист има решение без вектори 100%, а и честно да си кажа - не мога да работя с вектори, освен ако много не се налага.

[inveidar]

Да разбирам ли, че това което съм открил го няма в известното ти решение?

[ins-]

По скоро - да.

[ins-]

Центровете на описаните около триъгълниците APD и BCP окръжности лежат на правите NP и MP соответственно. OEPF е успоредник, а FE и KL са успоредни.

Около тези факти се върти решението на задачата

[ganka simeonova]

С любезната подсказка на инс
Означаваме [tex]\angle DAC=\angle DBC=\alpha =>\angle PBN=90^\circ -\alpha[/tex]
Нека [tex]O_1[/tex] е център на описаната около [tex]\Delta ADP[/tex] окр.=>[tex]\angle DO_1P=2\alpha =>\angle O_1PD=90^\circ -\alpha[/tex]
Но [tex]D,P,B[/tex] лежат на една права и [tex]\angle O_1PD=\angle BPN=90^\circ -\alpha =>O_1; P; N[/tex]лежат на една права.
Аналогично [tex]O_2,P,K[/tex]лежат на една права. [tex]OO_1\equiv S_{AD}=>OO_1\bot AD; KM\bot AD=>OO_1||KM=>OO_1||PO_2[/tex]
Аналогично [tex]OO_2||O_1P=>O_1PO_2O[/tex]-успредник=>[tex]QP[/tex]разполовява [tex]O_1O_2[/tex].
От подобията на [tex]\Delta APD; \Delta BPC[/tex] и [tex]\Delta APL; \Delta BPK[/tex]=>
[tex]\frac {PO_1}{PO_2 } =\frac{PL}{PK } =>O_1O_2||LK=>QP[/tex]разполовява[tex]LK[/tex]

[ins-]

Поздравления за решението!
Какво е нивото на сложност на тази задача и срещали ли сте я преди, ако да - къде?

[ganka simeonova]

Задачата е хубава, на мен ми хареса. Аз бях забила в една друга посока, която може и да доведе до решение, но като ти видях подсказката, изоставих първоначалната си идея. Кой знае, от нея може да се породи друга задача и това е хубавото на математиката..
От даден проблем се поражда друг:) Не съм я срещала преди. В интерес на истината от месец не съм се занимавала с математика, а само следя калсирания и резултати по унитата

[georgi111]

Бате Боби да разбирам ли, че като не знаеш вектори такива решения автоматично попадат в графата "не са красиви" Иначе за вектори има много книги и много тежки задачи излизат с тях, както и с комплексни числа например. Един учител по математика навремето казваше - трябва да знаеш поне един метод (вектори, комплексни числа, координати) до съвършенство, защото помагат в много заплетени ситуации. За комплексни числа и приложението им в геометрията - http://www.imomath.com/tekstkut/cnum_mr.pdf. За вектори и красиви задачи с тях може да намериш на много места - например на сайта на Емил Стоянов книжката на Борислав Михайлов. Така че колкото и да не ти харесват тези методи в много задачи спасяват положението, защото колко пъти можем да видим най-красивото решение? Хубаво е да е на ниво СОУ, достъпно за всички ама не винаги става така. Например на другата ти задача в арт-а на същата тематика пакистанеца като го охапа кучето и заби с изогонални конжугати и подобности задачата изглежда ниво ТСТ Китай, а решението на Емил Стоянов с едно подобие и вектори на 3 реда "връзват" конфигурацията със средите - кое е по красивото в случая

[ganka simeonova]

Георги, абсолютно си прав за векторите, те много пъти са нещо безценно, но защо ми хареса подсказката на инс..
Защото, решавайки я по този начин, открих и някои хубави положения в задачата и свойства, които иначе биха убегнали..

[ins-]

Нищо подобно, това, че не ползвам активно векторен апарат нищо не означава. Тригонометрията е подобна на тях и ми е от любимите раздели.