Вписан четириъгълник и три среди

[ins-]

Четириъгълникът ABCD с пресечна точка на диагоналите P е вписан в окръжност. М и N са петите на перпендикулярите от P съответно към AD и BC. K и L са пресечните точки на PM и PN съответно с BC и AD. Да се докаже, че средите на AB, CD и KL лежат на една права.

[ins-]

Някакви идеи?

[inveidar]

Твърде лесна задачка, за разлика от предишната ти.Та както споменах в обсъждането на предишната ти задача, лесно е да докажем, че [tex]\frac{AL}{AD }=\frac{BK}{BC }=k \Leftrightarrow\vec{AL} =k.\vec{AD} ,\vec{BK} =k.\vec{BC}[/tex](Това ще го докажа после!). Да означим средите на [tex]AB,KL,CD[/tex] съответно с [tex]X,Q,Y[/tex]. И в учебниците за осми клас може да откриете, че[tex]\vec{XY}=\frac{1}{2 }(\vec{AD}+\vec{BC}),\vec{XQ}=\frac{1}{2 }(\vec{AL}+\vec{BK})=\frac{k}{2 }(\vec{AD}+\vec{BC})[/tex],
т.е [tex]\vec{XY} =k.\vec{XQ}[/tex]. С това задачата е решена!
По-късно ще докажа и равенството в началото, но то е елементарно с подобни триъгълници.

[ins-]

Поздравления за краткото и елегантно решение! Може да се разбере даже от хора, които не са много напред с векторите.

[inveidar]

Е, то с векторите колко неща има да се знаят?! Правилата за събиране, една две основни задачки, произведение на вектор с число, скаларно произведение за доказване на перпендикулярност, векторни бази и толкова. Това ти е достатъчно да решаваш доста задачи.

[inveidar]

За цитираното равенство да кажа няколко думи. Колкото и странно да звучи, то е най-трудния момент в задачата и да го открие човек не е толкова лесно, ако не се сети първо за векторите. Всъщност то се явява обобщение на теоремата на Брахмахупта(или Брахмагупта? Абе, едни му викат така - други иначе! ), която гласи, че ако имаме вписан четириъгълник АВСD с перпендикулярни диагонали, които се пресичат в точка Р, то продълженията на височината в триъгълника АРD се явява медиана в триъгълника ВСР и обратното - продължението на медианата в АРD се явява височина в ВСР(няма да спорим дали е обратно или не, нали?). В случая със задачата по-горе диагоналите не са перпендикулярни, но отношенията отново са равни(в теоремата на Брахмахупта това отношение е [tex]\frac{1}{2 }[/tex]). Лично аз тръгнах по аналогия с Брахмахуптата! И те така.

[ins-]

Хубави разсъждения, а аз забелязах междувременно още няколко подобни твърдения, някои от които ще пусна тук.

[inveidar]

Интересно ще е да ни просветлиш как ги забелязваш тия твърдения? Да се научим и ние.

[ins-]

Интуиция и софтуер, а понякога даже мога и да ги докажа