Тригонометрия

[atnast]

Да се докаже, че за произволни [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] е изпълнено неравенството [tex]cos(x+y)+sinx+siny\le \frac{3}{2 }[/tex].

[ganka simeonova]

Да се докаже, че за произволни [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] е изпълнено неравенството [tex]cos(x+y)+sinx+siny\le \frac{3}{2 }[/tex].

[tex]cos(x+y)+cos(\frac{\pi }{2 } -x)+cos(\frac{\pi }{ 2} -y)=1-2sin^2{\frac{x+y}{2} } +2cos(\frac{\pi }{2 } -\frac{x+y}{2} )cos{\frac{y-x}{2} } \le[/tex]

[tex]1-2sin^2{\frac{x+y}{2} } +2sin{\frac{x+y}{2} } =\frac{3}{2 } -\frac{1}{2 } (1-2sin{\frac{x+y}{2} } )^2\le \frac{3}{2 }[/tex]

Равенство се достига за [tex]x=y=\frac{\pi }{6 } +2k\pi[/tex]или за [tex]x=y=\frac{5\pi }{6 } +2k\pi[/tex]

Ползвала съм формула за понижение на степента;сбор на косинуси; оценка за косинус, който е по-малък или равен на 1 и отделяне на точен квадрат

[atnast]

Точно така, моето решение е съвсем леко по-различно. А тази:

Да се докаже, че за произволен триъгълник с мерки [tex]\alpha , \beta , \gamma[/tex] на ъглите е в сила неравенството [tex]sin\alpha+sin\beta+sin\gamma\le \frac{3sqrt{3}}{2}[/tex].

[mkmarinov]

За ъгли в триъгълник, [tex]sinx[/tex] е вдлъбната функция, следователно
[tex]\frac{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}{3} \le \sin(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3})=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]