Да се намери формула за реда

[mkmarinov]

Да се намери общата формула на реда:
[tex]\frac{1^3}{1^4+4}-\frac{3^3}{3^4+4}+\frac{5^3}{5^4+4}+...+\frac{(-1)^n(2n+1)^3}{(2n+1)^4+4}[/tex]

Задачата е взета от The Art Of Computer Programming (Donald Knuth).

[mkmarinov]

Хайде де... задачата изглежда много по-страшна отколкото е всъщност .

[matdia]

(-1)^(n+1)*(2n-1)^3/((2n-1)^4+4)

[ganka simeonova]

Хубава задача, която ми достави истинско удоволствие.

Аз получавам [tex]S=\frac{(-1)^n(n+1)}{ 4n^2+8n+5}[/tex]

Сега излизам, но следобед ще напиша решението си. Дано да е вярно.

[mkmarinov]

Да, отговорът е [tex]S_n=\frac{(-1)^n(n+1)}{4(n+1)^2+1}[/tex]. Поздрави!

[ganka simeonova]

Така, аз реших да генерирам "математически вирус", т.е. да представя по някакъв начин реда чрез събираеми, голяма част от които се унищожават помежду си..
За целта разгледах общия член без единицата на степен.

[tex]\frac{(2n+1)^3}{(2n+1)^4+4 }[/tex] и разложих знаменателя на множители с прибавяне и изваждане на [tex]4(2n+1)^2[/tex]

=>[tex](2n+1)^4+4 =(4n^2+1)(4n^2+8n+5)[/tex]. Тогава знаменателят на предпоследния член ще е [tex](4n^2-8n+5)(4n^2+1)[/tex], което ми направи впечатление, че ще има по един общ множител във всеки две съседни събираеми. Освен това [tex](4n^2+8n+5)-(4n^2+1)=4(2n+1)[/tex] .Тоgава реших, че общия член ще го представя като:

[tex](-1)^n\frac{}{ } \frac{(2n+1)^2}{ 4} .\frac{4.(2n+1)}{(4n^2+1)(4n^2+8n+5) } =(-1)^n\frac{(2n+1)^2}{ 4}( \frac{1}{ 4n^2+1} -\frac{1}{4n^2+8n+5})[/tex]

Аз броя, почвайки от [tex]n=0[/tex].Да проверим какво се случва за [tex]n=2[/tex]

[tex]\frac{1}{4} (1-\frac{1}{5 } -\frac{3^2}{ 5} +\frac{3^2}{17 }+\frac{5^2}{ 17}-\frac{5^2}{37 } )=\frac{1}{ 4}(1-2+2-\frac{5^2}{17 } )=\frac{1}{4 } (1-\frac{5^2}{17 })[/tex]...(1)

При [tex]n=3[/tex]=>[tex]\frac{1}{4} (1-\frac{1}{5 } -\frac{3^2}{ 5} +\frac{3^2}{17 }+\frac{5^2}{ 17} -\frac{5^2}{37} -\frac{7^2}{37 } +\frac{7^2}{65})=\frac{1}{4 }(1-2+2-2+\frac{7^2}{ 65} )=-\frac{1}{4 }(1-\frac{7^2}{65 })[/tex]

Увеличавайки n, максимален брой двойки се унищожават. Тогава, обобщавайки за четен и нечетен брой, получаваме

[tex]S=(-1)^n\frac{1}{4 }(1-\frac{(2n+1)^2}{4n^2+8n+5}) =(-1)^n\frac{n+1}{4n^2+8n+5 }[/tex]

Не знам дали е най-елегантното решение, но си е мое и аз си го харесвам

[mkmarinov]

Поне е решение .
Какво направих аз: сметнах си сумата за първите няколко n.
[tex]S_1=\frac{-2}{17}[/tex]
[tex]S_2=\frac{3}{37}[/tex]
[tex]S_3=\frac{-4}{65}[/tex]
[tex]S_4=\frac{5}{101}[/tex]
[tex]S_5=\frac{-6}{145}[/tex]
[tex]S_6=\frac{7}{197}[/tex]
[tex]S_7=\frac{-8}{257}[/tex]
[tex]S_8=\frac{9}{325}[/tex]

Формулата за числителя вече е ясна, нека [tex]a_n[/tex] е знаменателя на [tex]S_n[/tex].
Забелязваме, че [tex]a_n-1[/tex] е точен квадрат на четно число за всяко n. Като ги разпишем и се вижда: [tex]a_1=4^2+1=(2.2)^2+1[/tex], [tex]a_2=6^2+1=(2.3)^2+1[/tex]... Вече става ясна и формулата за знаменателя.

Остава само формулата да се докаже с индукция.

[ganka simeonova]

Би ли разписал индукцията?
, аз такива сметки не правя , винаги бъркам в сметките
Та, искаш ли задача по геометрия или да започнем ваканцията вече

[mkmarinov]

Давай я (в отделна тема по възможност), с ваканциите съм приключил.

[ganka simeonova]

Давай я (в отделна тема по възможност), с ваканциите съм приключил.

viewtopic.php?f=10&t=7038