Кратни корени

[atnast]

Да се докаже, че полиномът [tex]f(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+...+\frac{x^{n}}{n!}[/tex] няма кратни корени.

[mkmarinov]

Ясно е, че функцията е диференцируема n пъти (n+1-та производна е 0) и че никоя от производните й няма корен 0. Ако [tex]\alpha[/tex] е кратен корен на [tex]f(x)[/tex], то [tex]\alpha[/tex] е корен и на [tex]f'(x)[/tex]. Но [tex]f(x)=f'(x)+\frac{x^n}{n!}[/tex]. Замествайки [tex]x[/tex] с [tex]\alpha[/tex] получаваме противоречие.