Без синусова..

[ganka simeonova]

Нека [tex]D[/tex] е точка от страната [tex]BC[/tex] на [tex]\Delta ABC[/tex]. Ако [tex]\angle BAD=4x,\angle DAC=x,\angle ABC=6x[/tex] и [tex]AD=BC[/tex], пресметнете стойността на [tex]x[/tex]

(чудесна задача от форума на Емо Стоянов)

[mkmarinov]

[tex]x=\frac{\pi}{16}[/tex] ?
Ето и решение:
Построяваме [tex]\vec{BE}=\vec{CD}[/tex]. Тогава триъгълник ADE е равнобедрен с ъгъл при основата [tex]5x[/tex], следователно [tex]\angle BAE=x[/tex]. Лицата на триъгълници [tex]ABE, CAD[/tex] са равни ([tex]BE.h=CD.h[/tex], а височината е обща). Но страна, ъгъл срещу нея и лице определят еднозначно триъгълник (доказателството на това го оставям като упражнение за четящия), следователно триъгълниците [tex]ABE, CAD[/tex] са еднакви. Следователно [tex]BA=AD[/tex], или [tex]6x=\pi-10x[/tex].

Но си признавам, първо я реших с една избождаща очите синусова в двата триъгълника, които после се оказват еднакви.

[ganka simeonova]

[tex]x=\frac{\pi}{16}[/tex] ?

Нямам никаква идея за отговора Тази задача, така и не съм я решила
Ако имаш някакво решение, пусни го, ще ми е интересно. Но без синусови теореми..

[mkmarinov]

bump, редактирах си горния пост.

[ganka simeonova]

bump, редактирах си горния пост.

Браво Аз направих същото построение, но не съобразих лицата.. Чудесно решение.

[mkmarinov]

Разбира се, има уловка в това решение, за която сега се сетих.
Първо, признака за еднаквост не знам дали ще се докаже лесно с осмокласен материал.
Второ, начинът, по който го доказвам, не казва коя страна на коя е равна (и кой ъгъл на кой) - трябва да се проверят двата случая [tex]5x=\pi-11x[/tex] и [tex]5x=10x[/tex]... разбира се, единият отпада. Тук решението ми е неточно, защото използвайки този признак не мога да знам коя двойка страни/ъгли са равни. Но използвайки същата идея, може да се напише формално решение.

[inveidar]

bezsin.JPG (19.91 KiB) Прегледано 333 пъти

Построяваме точка[tex]F[/tex], такава, че [tex]ABCD[/tex] да е успоредник. Тогава [tex]\angle BAF=180^{0}-6x\Rightarrow \angle DAF=180^{0}-10x[/tex]. От построението следва, че [tex]AF=BC[/tex], но [tex]BC=AD\Rightarrow AF=AD[/tex] и от предишното получаваме, че [tex]\angle AFD=\angle ADF=5x\Rightarrow\angle DFC=x[/tex](срещулежащите ъгли в успоредника са равни!). Сега вече четириъгълникът [tex]ADCF[/tex] е вписан, защото отсечката [tex]CD[/tex] се вижда от [tex]A[/tex] и [tex]F[/tex] под един и същи ъгъл. От това пък следва, че [tex]\angle AFD=\angle ACD=5x[/tex] и от триъгълника [tex]ABC[/tex] лесно намираме [tex]4x+x+6x+5x=180^{0}\Rightarrow x=11^{0}15^{'}[/tex].