Неравенство, Теорема Vasile Cartoaje

[N.Stavrev]

(Теорема Vasile Cartoaje) Нека [tex]x_{1},...,x_{n}[/tex] са неотрицателни реални числа, за които [tex]x_{1}+...+x_{n}=n[/tex] и [tex]p>1 , p\in R[/tex].
Тогава [tex]\sum_{cyclic} \frac{1}{x_{1}^{p}+x_{2}+...+x_{n} } \le1[/tex]

[martin123456]

Тази задача е много трудна.
Мисля, че се доказва, че n-1 от променливите трябва да са равни, за да се максимизира лявата страна. Това става чрез неравенството за мажориране, използвано 2 пъти (или с Йенсен втория път), като предварително сме показали, че [tex]f(x)=\frac{1}{x^p+n-x}[/tex] e вдлъбната. На финала трябва да се докаже, че [tex]\frac{n-1}{x^p-x+n}+\frac{1}{(n-(n-1)x)^p+(n-1)x}\le 1[/tex], но още не мога да го докажа.

[mkmarinov]

като предварително сме показали, че [tex]f(x)=\frac{1}{x^p+n-x}[/tex] e вдлъбната.

Вдлъбната, ама не е . Пробвай (например) с n=10 и p=3.

[martin123456]

Може, може
Забравил съм как да намирам производни
Би ли ми разписал намирането на 2ра производна на [tex]f(x)=\frac{1}{x^p+n-x}[/tex].

[tex]f'(x)=-(x^p+n-x)^{-2}(px^{p-1}-1)[/tex]
[tex]f''(x)=-[-2(x^p+n-x)^{-3}(px^{p-1}-1)^2+(x^p+n-x)^{-2}p(p-1)x^{p-2}][/tex]
нали

[mkmarinov]

Ето и моето решение. Първо, от средно степенно знаем, че
[tex](\frac{\sum x_{i} ^{\frac{1-p}{n}}}{n})^{\frac{n}{p-1}} \le \frac{\sum x_i}{n}=1[/tex], т.к. [tex]\frac{1-p}{n} <0 < 1[/tex]. Полученото неравенство го повдигаме на степен [tex]\frac{p-1}{n}>0[/tex] и получаваме [tex]\frac{\sum x_{i} ^{\frac{1-p}{n}}}{n} \le 1[/tex] (1).
Сега ще докажем, че [tex]\sum \frac{1}{x_i^p-x_i+n} \le \frac{\sum x_{i} ^{\frac{1-p}{n}}}{n}[/tex], което е еквивалентно на
[tex]\sum \frac{1}{\frac{x_i^p-x_i}{n}+1} = \sum (1+\frac{x_i^p-x_i}{n})^{-1} \le \sum x_i^{\frac{1-p}{n}}[/tex]
Но от едно неравенство (*) знаем, че [tex]\sum (1+\frac{x_i^p-x_i}{n})^{-1} \le \sum e^{\frac{x_i-x_i^p}{n}}[/tex], откъдето ни остава да докажем, че [tex]\sum e^{\frac{x_i-x_i^p}{n}} \le \sum x_i^{\frac{1-p}{n}}[/tex], записано по друг начин
[tex]\sum \sqrt[n]{e^{x_i-x_i^p}} \le \sum \sqrt[n]{x_i^{1-p}}[/tex].
Преди това ще докажем едно друго твърдение: [tex]x^{1-p} \ge e^{x-x^p}[/tex] за положителни числа х.
[tex]e^{x^p-x}=e^x.e^{x^{p-1}-1} \ge e^x.x^{p-1} \ge x^{p-1}[/tex], т.к. х>0 и [tex]e^{t-1} \ge t[/tex] (в този случай [tex]t=x^{p-1}[/tex]). Тогава това неравенство важи и за n-тите корени на дадените числа, както и за сумите на n-тите корени. С това задачата е решена.

(*) http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli%27s_inequality#Related_inequalities

EDIT: На твоята идея производната не съм я разписвал на ръка - използвах Graph. Но преди това бях тръгнал по същият път (с Йенсен) и ме спря същото нещо.

[mkmarinov]

Имам грешка - неравеснтвото [tex](1+x)^r \le e^{rx}[/tex] важи само за положителни r.

[inveidar]

Намерих задачата в сборник на Vasile Cirtoaje. Първо трябва да докажете следната теорема:

theorem_1.JPG (15.45 KiB) Прегледано 341 пъти

а след това още нещо...
Само, че там задачата е дадена за p=2, а за произволно p е само предположение, без да е доказано!
Може би Н. Ставрев нещо се бъзика с вас, защото доказателството на теоремата на Vasile Cirtoaje е ужасно, а щом той не е доказал задачата за произвални p, предполагам, че е ужасно трудно.