Триъгълник и пресичащи се прави

[ins-]

Във вътрешността на триъгълник [tex]ABC[/tex] е избрана произволна точка [tex]P[/tex]. [tex]AP[/tex] пресича страната [tex]BC[/tex] в точка [tex]A_0[/tex], [tex]BP[/tex] пресича страната [tex]AC[/tex] в точка [tex]B_0[/tex]. [tex]CP[/tex] пресича страната [tex]AB[/tex] в точка [tex]C_0[/tex]. Описаната около триъгълник [tex]A_{0}B_{0}C_{0}[/tex] окръжност пресича съответно страните [tex]BC[/tex], [tex]CA[/tex], [tex]AB[/tex] в точките [tex]A_1[/tex], [tex]B_1[/tex], [tex]C_1[/tex]. Да се докаже, че [tex]AA_1[/tex], [tex]BB_1[/tex], [tex]CC_1[/tex] се пресичат в една точка.

[mkmarinov]

От Чева имаме [tex]\frac{AC_0}{C_0B}.\frac{BA_0}{CA_0}.\frac{CB_0}{B_0A}=1[/tex]
От степен на точка имаме [tex]\frac{AC_0}{AB_0}=\frac{AB_1}{AC_1}[/tex], [tex]\frac{BA_0}{BC_0}=\frac{BC_1}{BA_1}[/tex] и [tex]\frac{CB_0}{CA_0}=\frac{CA_1}{CB_1}[/tex]
Като умножим последните три, получаваме, че [tex]\frac{AB_1}{AC_1}.\frac{BC_1}{BA_1}.\frac{CA_1}{CB_1}=1[/tex], което го пренареждаме до [tex]\frac{AB_1}{B_1C}.\frac{CA_1}{A_1B}.\frac{BC_1}{C_1A}=1[/tex] и използваме обратната теорема на Чева.