Перпендикулярни на диагоналите - 1

[ins-]

Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност k(О). През върховете му са построени прави, перпендикулярни на диагоналите. Пресечните точки на тези прави образуват четириъгълник - MNPQ. Да се докаже MNPQ е успоредник и диагоналите му се пресичат в точка O.

[inveidar]

Правите трябва да са перпендикулярни на диагонала през върха! Иначе се получават няколко успоредника, които не удовлетворяват условието.

[ins-]

През върховете му са построени прави, перпендикулярни на диагоналите.

Споменато е в условието. Ако има нещо неясно да пусна чертеж?

[inveidar]

Не е споменато. Допълни условието с това, дето написах по-горе. Иначе и аз мога да пусна чертеж. Така както е казано има осем прави!

[ins-]

Мисля, че разбрах какво имаш в предвид. Преформулирах малко условието. Дано така да е по-ясно:

Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност k(О). През върхa А е построена права - m, перпендикулярна на диагонала AC. През върха B e построена права - n, перпендикулярна на диагонала BD. През върха C е построена права - p , перпендикулярна на диагонала АC. Прес върха D е построена права - q, перпендикулярна на диагонала BD.
При пресичането си правите m, n, p, q образуват успоредник. Да се докаже, че диагоналите на този успоредник се пресичат в т. О.

[inveidar]

Е, така вече може. Но по-добре беще просто да кажеш, че през върховете са построени прави, перпендикулярни на диагонала през съответния връх, които се пресичат в точки .... Така щеше да избегнеш много означения! Не се заяждам, а просто искам условието да е формулирано ясно и точно.

[ins-]

Съгласен съм. Може да се подобри още условието, но целта е изпълнена - става ясно за какво иде реч. По-интересният момент е как може да се реши поставената задача.

[inveidar]

Твърде лесна задачка! Четириъгълникът MNPQ е успоредник, защото срещуположните му ъгли са два по два равни(M,N,P,Q заедно със съседните им върхове на ABCD и пресечната точка на диагоналите, са върхове на вписани четириъгълници). Построявайки през О перпендикулярни прави на диагоналите е елементарно да докажем, че така получените четириъгълници MXOT, XNYO, OYPZ и OZQT са успоредници, а от там и че M,O,P и N,O,Q лежат на една права.

А сега и отговорите на въпросите:
1)Не ми е позната;
2) Вече казах;
3) Грабва окото.

xaxa.JPG (24.97 KiB) Прегледано 916 пъти

[ins-]

Благодаря за решението. Оказа се много по-лесна, отколкото предполагах. Откъм красота ... има накъде.

[inveidar]

Няма да е зле първо да пускаш задчките тук, а след това в
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 2#p2409542
Българи сме все пак! А и поради други причини...

[ins-]

Добре, значи пускам "Перпендикулярни на диагоналите - 2". Би трябвало да е по-трудна, или поне чертежа е по-претрупан, ако не друго ето и линк: viewtopic.php?f=10&t=7092