Задача с ъглополовяща

[ins-]

Триъгълник ABC e вписан в окръжност k. Ъглополовящата на <A пресича страната BC в точка L, a k - в точка М. Окръжност с диаметър LM пресича BC в точка N, a k в точка P. Да се докаже, че <LAN=<LAP.

[georgi111]

Интересна задача ... От [tex]\angle MPL = 90 ^\circ[/tex] следва, че центъра на [tex]k[/tex] [tex]O,P , M[/tex] лежат на 1 права и [tex]P[/tex] - среда на [tex]BC[/tex]([tex]M[/tex] - среда на [tex]\stackrel{\frown}{BC}[/tex]). Нека [tex]OM[/tex] пресича [tex]k[/tex] в точка [tex]S[/tex]. От [tex]\angle SNM = 90 ^\circ[/tex](SM - диаметър в [tex]k[/tex] ) и от [tex]\angle LNM = 90 ^\circ[/tex] (ЛM - диаметър в [tex]k1[/tex] по условие([tex]k1[/tex] - окръжността с диаметър [tex]ML[/tex] )) лесно следва, че [tex]S,L,N[/tex] лежат на 1 права. Нека още [tex]PN \cap k = R, AP \cap k = Q[/tex] (както е на грозния чертеж ). Нека още [tex]\angle PLM = x = \angle PNM(k1), \angle PAL = y, \angle APL = z, \angle BAC = \beta, \angle BAQ = t[/tex]. Тогава [tex]z=1/2(\stackrel{\frown}{AC} + \stackrel{\frown}{BQ}) = \beta + t, x = y + z = 1/2(\stackrel{\frown}{MQ} + \stackrel{\frown}{QR})[/tex]. Тогава имаме [tex]1/2\stackrel{\frown}{QR} = z = \beta + t \rightarrow 1/2\stackrel{\frown}{RB} = \beta \rightarrow AR || BC[/tex]. Тогава от [tex]BC \bot SM[/tex] имаме последователно [tex]\angle SPA = 90 ^\circ - z = \angle SPR,\angle RPB = \angle CPN = z \rightarrow \angle APC = \angle CPN = z \rightarrow PL[/tex] - ъглополовяща на [tex]\angle APN[/tex]. Също така от [tex]\stackrel{\frown}{RS} = \stackrel{\frown}{SA} \rightarrow \angle RNL = \angle RNS = \angle SNA = \angle LNA = 1/2 \stackrel{\frown}{RS} = 1/2 \stackrel{\frown}{SA}[/tex] т.е [tex]LN -[/tex] ъглополовяща на [tex]\angle PNA[/tex]. Установихме, че [tex]L[/tex] съвпада с центъра на вписаната окръжност в триъгълник [tex]PNA \rightarrow \angle LAP = \angle LAN[/tex] което и трябваше да се докаже. ([tex]AN[/tex] се оказва симедианата)

[georgi111]

Извинявам се за супер грозния чертеж

[georgi111]

А забравих отговорите на обичайните въпроси на бате Боби:
1) виждал съм я някъде ама сега не се сещам къде
2) красив факт, известен
3) подходяща е за контролно в някое МГ за 9ти клас може би

[ins-]

Чак за 9 клас контролно