Тригонометрия

[ins-]

Даден е триъгълник с ъгли [tex]\alpha[/tex], [tex]\beta[/tex], [tex]\gamma[/tex] такъв, че [tex]cos\alpha \ne cos\beta[/tex]. [tex]x[/tex] е реално число, такова, че:
[tex]x^2cos\beta cos\gamma + x(sin \beta + sin \gamma) + 1 = 0[/tex]
[tex]x^2 cos \gamma cos \alpha + x(sin \gamma + sin \alpha) + 1 = 0[/tex]
Да се докаже, че:
[tex]x^2cos \alpha cos\beta + x(sin\alpha + sin\beta) + 1 = 0[/tex]

[ins-]

много трудна задача ...

[mkmarinov]

Стигнах до [tex]x=-sin\gamma[/tex] и се отказах .

[martin123456]

[tex]f_1(y)=y^2\cos{\beta}\cos{\gamma}+y(\sin{\beta}+\sin{\gamma})+1[/tex]
[tex]f_2(y)=y^2\cos{\alpha}\cos{\gamma}+y(\sin{\alpha}+\sin{\gamma})+1[/tex]
От условието [tex]f_1(x)=f_2(x)=0[/tex].
Полагаме [tex]g(y)=f_1(y)-f_2(y)[/tex]. Очевидно [tex]g(y)=y^2\cos{\gamma}(\cos{\beta}-\cos{\alpha})+y(\sin{\beta}-\sin{\alpha})=y(y\cos{\gamma}(\cos{\beta}-\cos{\alpha})+\sin{\beta}-\sin{\alpha})[/tex]. Очевидно [tex]deg(g)=2[/tex] тъй като [tex]\cos{\alpha} \ne \cos{\beta}[/tex]. Също корените му са [tex]y_1=0[/tex] и [tex]y_2=-\frac{\sin{\beta}-\sin{\alpha}}{\cos{\gamma}(\cos{\beta}-\cos{\alpha})}[/tex]. Вторият корен е определен - допускаме противното - [tex]\cos{\gamma}=0[/tex], то [tex]f_1(y)=y(\sin{\beta}+1)+1[/tex], [tex]f_2(y)=y(\sin{\alpha}+1)+1[/tex], [tex]g(y)=y(sin{\beta}-\sin{\alpha})[/tex] и [tex]f_1(x)=f_2(x)=0 \Rightarrow g(x)=0[/tex]. От условието се вижда, че ако [tex]x=0 \Rightarrow 1=0[/tex] и значи [tex]\sin{\alpha}=\sin{\beta}[/tex]. Тъй като [tex]\cos{\alpha} \ne \cos{\beta} \Rightarrow |\alpha - \beta|=\frac{\pi}{2}[/tex] но тъй като [tex]\gamma=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \empty[/tex].
Сега тъй като установихме че [tex]x \ne 0[/tex] и [tex]g(x)=0[/tex] следва [tex]x=-\frac{\sin{\beta}-\sin{\alpha}}{\cos{\gamma}(\cos{\beta}-\cos{\alpha})}[/tex]. Трябва да докажем тъждеството
[tex](-\frac{\sin{\beta}-\sin{\alpha}}{\cos{\gamma}(\cos{\beta}-\cos{\alpha})})^2\cos{\alpha}\cos{\gamma}+(-\frac{\sin{\beta}-\sin{\alpha}}{\cos{\gamma}(\cos{\beta}-\cos{\alpha})})(\sin{\alpha}+\sin{\gamma})+1=0[/tex].

[martin123456]

[tex]f_1(y)=y^2\cos{\beta}\cos{\gamma}+y(\sin{\beta}+\sin{\gamma})+1[/tex]
[tex]f_2(y)=y^2\cos{\alpha}\cos{\gamma}+y(\sin{\alpha}+\sin{\gamma})+1[/tex]
От условието [tex]f_1(x)=f_2(x)=0[/tex].
Полагаме [tex]g(y)=f_1(y)-f_2(y)[/tex]. Очевидно [tex]g(y)=y^2\cos{\gamma}(\cos{\beta}-\cos{\alpha})+y(\sin{\beta}-\sin{\alpha})=y(y\cos{\gamma}(\cos{\beta}-\cos{\alpha})+\sin{\beta}-\sin{\alpha})[/tex]. Очевидно [tex]deg(g)=2[/tex] тъй като [tex]\cos{\alpha} \ne \cos{\beta}[/tex]. Също корените му са [tex]y_1=0[/tex] и [tex]y_2=-\frac{\sin{\beta}-\sin{\alpha}}{\cos{\gamma}(\cos{\beta}-\cos{\alpha})}[/tex]. Вторият корен е определен - допускаме противното - [tex]\cos{\gamma}=0[/tex], то [tex]f_1(y)=y(\sin{\beta}+1)+1[/tex], [tex]f_2(y)=y(\sin{\alpha}+1)+1[/tex], [tex]g(y)=y(sin{\beta}-\sin{\alpha})[/tex] и [tex]f_1(x)=f_2(x)=0 \Rightarrow g(x)=0[/tex]. От условието се вижда, че ако [tex]x=0 \Rightarrow 1=0[/tex] и значи [tex]\sin{\alpha}=\sin{\beta}[/tex]. Тъй като [tex]\cos{\alpha} \ne \cos{\beta} \Rightarrow |\alpha - \beta|=\frac{\pi}{2}[/tex] но тъй като [tex]\gamma=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \empty[/tex].
Сега тъй като установихме че [tex]x \ne 0[/tex] и [tex]g(x)=0[/tex] следва [tex]x=-\frac{\sin{\beta}-\sin{\alpha}}{\cos{\gamma}(\cos{\beta}-\cos{\alpha})}[/tex].

Да отбележим, че лесно се вижда, че [tex]x=\frac{tg\frac{\gamma}{2}}{\cos{\gamma}}[/tex]. Това е корен на [tex]f_1(x)[/tex], който има произведение от корените [tex]\frac{1}{\cos{\gamma}{\cos{\beta}}[/tex] и значи другият му корен е [tex]\frac{cotg\frac{\gamma}{2}}{\cos{\beta}}[/tex]. Тогава за сумата от корените получаваме [tex]-\frac{\sin{\beta}+\sin{\gamma}}{\cos{\gamma}\cos{\beta}}=\frac{tg\frac{\gamma}{2}}{\cos{\gamma}}+\frac{cotg\frac{\gamma}{2}}{\cos{\beta}}=\frac{tg\frac{\gamma}{2}\cos{\beta}+cotg\frac{\gamma}{2}\cos{\gamma}}{\cos{\gamma}\cos{\beta}}[/tex][tex]\Rightarrow -(\sin{\beta}+\sin{\gamma})=tg\frac{\gamma}{2}\cos{\beta}+cotg\frac{\gamma}{2}\cos{\gamma}[/tex]. Разсъждавайки аналогично за 2рото уравнение излиза [tex]\Rightarrow -(\sin{\alpha}+\sin{\gamma})=tg\frac{\gamma}{2}\cos{\alpha}+cotg\frac{\gamma}{2}\cos{\gamma}[/tex]. Като ги разделим на [tex]\cos{\gamma}[/tex] излиза [tex]-(\frac{\sin{\beta}}{\cos{\gamma}}+tg\gamma)=tg\frac{\gamma}{2}\frac{\cos{\beta}}{\cos{\gamma}}+cotg\frac{\gamma}{2}[/tex] и [tex]-(\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\gamma}}+tg\gamma)=tg\frac{\gamma}{2}\frac{\cos{\alpha}}{\cos{\gamma}}+cotg\frac{\gamma}{2}[/tex]. Нека положим [tex]a=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\gamma}}[/tex], [tex]b=\frac{\sin{\beta}}{\cos{\gamma}}[/tex], [tex]c=\frac{\cos{\alpha}}{\cos{\gamma}}[/tex], [tex]d=\frac{\cos{\beta}}{\cos{\gamma}}[/tex] [tex]\Rightarrow -(a+tg\gamma)=tg\frac{\gamma}{2}d+cotg\frac{\gamma}{2}[/tex] и [tex]-(b+tg\gamma)=tg\frac{\gamma}{2}c+cotg\frac{\gamma}{2}[/tex].

Трябва да докажем тъждеството
[tex](\frac{tg\frac{\gamma}{2}}{\cos{\gamma}})^2\cos{\alpha}\cos{\beta}+(\frac{tg\frac{\gamma}{2}}{\cos{\gamma}})(\sin{\alpha}+\sin{\beta})+1=0 \Leftrightarrow tg^2\frac{\gamma}{2}cd+tg\frac{\gamma}{2}(a+b)+1=0[/tex].

некви такива ))

[ins-]

Задачата ми се струва забавна. Един приятел (georgi111) каза, че я е "открил" самостоятелно и допуска "технично" решение. Дано да Ви е харесала.

[ganka simeonova]

Задачата обаче все още не е решена.

[martin123456]

[tex]f_1(y)=y^2\cos{\beta}\cos{\gamma}+y(\sin{\beta}+\sin{\gamma})+1[/tex]
[tex]f_2(y)=y^2\cos{\alpha}\cos{\gamma}+y(\sin{\alpha}+\sin{\gamma})+1[/tex]

Да забележим, че ако [tex]x=0\Rightarrow 0=f_1(x)=f_1(0)=1 \Rightarrow x \ne 0[/tex].
Също, ако [tex]\cos{\gamma}=0 \Rightarrow 0=f_1(x)=x\sin{\beta}+1[/tex] и [tex]0=f_2(x)=x\sin{\alpha}+1[/tex] и значи [tex]\sin{\alpha}=\sin{\beta}\Rightarrow \cos{\alpha}=\pm \cos{\beta}[/tex]. Обаче те са остри ъгли, заради [tex]\gamma=\frac{\pi}{2}[/tex]. Противоречие.

[tex]g(y)=f_1(y)-f_2(y)=[/tex][tex]y^2\cos{\gamma}(\cos{\beta}-\cos{\alpha})+y(\sin{\beta}-\sin{\alpha})=y\cos{\gamma}(\cos{\beta}-\cos{\alpha})(y+\frac{\sin{\beta}-\sin{\alpha}}{\cos{\gamma}(\cos{\beta}-\cos{\alpha})})[/tex] има степен точно 2 и корени [tex]y_1=0[/tex] и [tex]y_2=-\frac{\sin{\beta}-\sin{\alpha}}{\cos{\gamma}(\cos{\beta}-\cos{\alpha})}=\frac{tg\frac{\gamma}{2}}{\cos{\gamma}}[/tex].
Да забележим, че [tex]g(0)=f_1(0)-f_2(0)=1-1=0[/tex] и [tex]g(x)=f_1(x)-f_2(x)=0-0=0[/tex]. Oттук [tex]x=\frac{tg\frac{\gamma}{2}}{\cos{\gamma}}[/tex].

Много лесно се проверява, че [tex]\cos{\alpha}\ne 0[/tex], [tex]\cos{\beta} \ne 0[/tex] - иначе например в чвия случай ще получим, че x e отрицателно, а пък за [tex]\alpha=\frac{\pi}{2}[/tex] от по-горния резултат за x имаме, че е положително. Също се проверява, че [tex]\cos{alpha} \ne \cos{\gamma}[/tex] и [tex]\cos{\beta} \ne \cos{\gamma}[/tex], понеже например в 1ви случай във 2рото уравнение ще получим [tex]tg^2\frac{\alpha}{2}\cos{\alpha}+2tg\frac{\alpha}{2}\sin{\alpha}+\cos{\alpha}=0[/tex] и значи [tex]\cos{\alpha}<0[/tex] и значи имаме 2 тъпи ъгъла в триъгълник.

Съвсем аналогично на разглеждането на функцията [tex]g[/tex] можем да разгледаме и други функции, разлики от горните 3. Ако x ще е общ корен на всеки 2 от тези уравнения, ще получим че [tex]x=\frac{tg\frac{\alpha}{2}}{\cos{\alpha}}[/tex] и [tex]x=\frac{tg\frac{\beta}{2}}{\cos{\beta}}[/tex]. Излиза, че [tex]\frac{tg\frac{\alpha}{2}}{\cos{\alpha}}=\frac{tg\frac{\beta}{2}}{\cos{\beta}}=\frac{tg\frac{\gamma}{2}}{\cos{\gamma}}[/tex].
Но това не е вярно.

[ins-]

стана забавно. Да видим какво ще каже автора на задачата.