Алгебрична задача

[atnast]

Да се намери най-голямата реална стойност на z, за която съществуват реални величини x и y, удовлетворяващи условието:

[tex]2x^{2}+2y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx=4[/tex]

[martosss]

(x-z)²+(x-y)²+(y-z)²+2x²+2y²=8
и оттук би трябвало z=2, x=y=0 да е решението...
Но не се сещам как точно ще го докажеш.

Другото възможно представяне, като че ли по-добро, е
(x+y+z)²+3x²+3y²+z²=8

И оттук казваш, ако z>2 .. и трябва да стигнеш до противоречие...

[ganka simeonova]

(x-z)²+(x-y)²+(y-z)²+2x²+2y²=8
и оттук би трябвало z=2, x=y=0 да е решението...
Но не се сещам как точно ще го докажеш.

Другото възможно представяне, като че ли по-добро, е
(x+y+z)²+3x²+3y²+z²=8

И оттук казваш, ако z>2 .. и трябва да стигнеш до противоречие...

Марто, и аз си мислех за това, с удвояването.. Но имаш грешка в скобите. В скобите имаш + , а не -.

[atnast]

Това май няма голямо значение за неговата идея, дори и с + (0,0,2) е решение. Обаче ще ви подскажа, че тройката
[tex](-\frac{1}{\sqrt{5} } ,-\frac{1}{\sqrt{5} }, \sqrt{5})[/tex] също е решение

[allier]

x+y=a, xy=b

Uravnenieto stava:
[tex]b = \frac{2a^2+za+z^2-4}{3 }[/tex].

Za da ima reshenie tryabva [tex]b^2\ge 4a[/tex], otkudeto [tex]5a^2+4az+4z^2-16\le 0[/tex]. Diskriminantata na tova kvadratno uravnenie spryamo a e tochno [tex]C.(\sqrt{5}-z)[/tex].

[allier]

Malko popravki tryabva da se vnesat - [tex]a^2 \ge 4b[/tex].