неравенство

[N.Stavrev]

Нека [tex]a,b,c[/tex] са положителни реални числа, такива че [tex]ab+bc+ca=3abc[/tex] , да се докаже че
[tex]\frac{(a^{5}-a^{3})(b+c)}{a^{3}b+bc+ca^{3} }+\frac{(b^{5}-b^{3})(c+a)}{ab^{3}+b^{3}c+ca }+\frac{(c^{5}-c^{3})(a+b)}{ab+bc^{3}+c^{3}a } \ge0[/tex]

[drago]

Да положим [tex]\displaystyle a_1=\frac{1}{a},\, b_1=\frac{1}{b}, \, c_1=\frac{1}{c}[/tex] , то [tex]a_1+b_1+c_1=3[/tex].
Ако трансформираме неравенството в новите променливи ще получим, че желаем да проверим(ако не съм сбъркал):
[tex]f(a_1)+f(b_1)+f(c_1) \ge 0[/tex]
Където:
[tex]f(x)= \frac{(1-x^2)(3-x)}{x^2(x^3-x+3)}[/tex]
Сега, ако [tex]f[/tex] e изпъкнала в [0,3] ще имаме:
[tex]\frac{f(a_1)+f(b_1)+f(c_1)}{3} \ge f(\frac{a_1+b_1+c_1}{3}) =\frac{f(1)}{3}= 0[/tex].
Остава да проверим само изпъкналостта на [tex]f[/tex] в [0,3]. (Не съм го правил )

[mkmarinov]

Уви, Graph казва, че тази функция не е изпъкнала.

[drago]

Не е изпъкнала в [0, 3] или въобще ?!

[mkmarinov]

Изпъкнала е в (0;1.23)... приблизително.

[drago]

Да, видях.
Само че е поправимо.
[tex]f[/tex] има min в [tex]x_{min} \approx 1.34,\, y_{min}\approx-0.18[/tex]. Дотам е изпъкнала, инфлексната точка е малко по-нататък.

Сега дефинираме [tex]f_1(x)= f(x) ,\, 0 \le x \le x_{min}[/tex] и [tex]f_1(x)= y_{min}, \, x_{min} \le x \le 3[/tex].
[tex]f_1(x)[/tex] e изпъкнала в [0,3]. Нататък всичко върви като по-горе с [tex]f_1[/tex]вместо [tex]f[/tex].