Височини и среди

[ins-]

В остроъгълния триъгълник ABC с H1 и H2 са означени петите на височините през върховете A и B. M1 е среда на AH1, а M2 е среда на BH2. Ако M е средата на M1M2 - да се докаже, че MH1=MH2.

[mkmarinov]

Решението на задачата:

Скрит текст: покажи

M е медицентър на четириъгълника [tex]ABH_1H_2[/tex], следователно лежи на отсечката [tex]HN[/tex], където H е средата на [tex]H_1H_2[/tex], а N на АВ. Достатъчно е да се докаже, че [tex]HN \bot H_1H_2[/tex]. Но N лежи на отсечка, съдържаща средата на [tex]H_1H_2[/tex] - Н, следователно N трябва да лежи на симетралата на [tex]H_1H_2[/tex]. Което е еквивалентно на [tex]NH_1=NH_2[/tex], които са медиани в правоъгълни триъгълници с обща хипотенуза.

[ins-]

Благодаря за решението. Дано да Ви е харесала задачата. Вдъхнових се от задачата по-долу:

От точка М ,вътрешна за АВС са пуснати перпендикуляри към АС и ВС ,които ги пресичат съответно в N и Р . Ако точка Q е среда на АВ и ъгъл МАС е равен на МВС, докажете че NQ=PQ.

Не знам коя от двете е по-красива и/или трудна. И двете, според мен, са на ниво не леки задачи за общински кръг за 8 клас.