Общ член на редица

[inveidar]

Намерете формула за общия член на редицата
[tex]1,1,-1,1,1,-1,1,1,-1,...[/tex]
която е съставена по правилото, че се редуват две единици с минус единица до безкрайност.

[ganka simeonova]

Малко ще ми е трудно да я обясня читаво
Понеже [tex]cos(-\frac{\pi }{3 }) =cos(\frac{5\pi }{ 3}) =...cos(-\frac{\pi }{3 } +2n)=\frac{1}{2 }[/tex],също така и
[tex]cos(\frac{\pi }{3 } )=cos(\frac{\pi }{ 3} +2n)=\frac{1}{2 }[/tex], [tex]cos\pi =cos(\pi +2n)=-1[/tex],

забелязваме, че [tex]cos[(2n-1)\frac{\pi }{3 } ]=[/tex]
1)[tex]\frac{1}{ 2}[/tex], ако [tex]2n-1[/tex] не се дели на 3, за [tex]n\ge 0[/tex] и

2)[tex]-1[/tex], ако [tex]2n-1[/tex] се дели на 3

Тогава ф-та за общия член на редицата ще бъде:

[tex]a_n=\frac{1}{3 } [4cos((2n-1)\frac{\pi }{3} )+1][/tex] ,за [tex]n\ge 0[/tex]

[inveidar]

Идеята е добра, но за [tex]n=2[/tex] се получава [tex]a_{2}=-1[/tex].
Но работата май се оправя, ако [tex]a_n=\frac{1}{3 } [4cos((2n-3)\frac{\pi }{3} )+1][/tex] ,за [tex]n=1,2,3,...[/tex].

[inveidar]

Малко ще ми е трудно да я обясня читаво
Понеже [tex]cos(-\frac{\pi }{3 }) =cos(\frac{5\pi }{ 3}) =...cos(-\frac{\pi }{3 } +2n\pi )=\frac{1}{2 }[/tex],също така и
[tex]cos(\frac{\pi }{3 } )=cos(\frac{\pi }{ 3} +2n\pi )=\frac{1}{2 }[/tex], [tex]cos\pi =cos(\pi +2n\pi )=-1[/tex],

Пооправих и п-тата в цитата.

[ganka simeonova]

Идеята е добра, но за [tex]n=2[/tex] се получава [tex]a_{2}=-1[/tex].
Но работата май се оправя, ако [tex]a_n=\frac{1}{3 } [4cos((2n-3)\frac{\pi }{3} )+1][/tex] ,за [tex]n=1,2,3,...[/tex].

Аз изрично написах, че най- малката стойност от която почвам да броя е при n=0
Иначе, ако искаш да почваме от 1, полагаме k=n+1 и става
Иначе да, забравила съм прословутото пи, сори, техн. грешка

[ptj]

Същественото е, че периода на редицата е 3 и [tex]a_{3n+1}=a_{3n+2}[/tex].
Това веднага навежда на мисълта за единичната окръжност, начален член и стъпка равни на [tex]\frac{2\pi }{3 }[/tex].
Тригонометричната функция, която ще използваме е косинус, защото само тя има рационални значения за всички членове на горната редица.

Т.е. имаме [tex]a^*_{3n}=cos{\left(3n\frac{2\pi }{3 } \right)}=1[/tex]
и [tex]a^*_{3n+1}=cos{\left( (3n+1)\frac{2\pi }{3 } \right)}=a^*_{3n+2}=cos{\left( (3n+2)\frac{2\pi }{3 } \right)}=-\frac{1}{2 }[/tex].
Остава само да намерим линейно преобразувание [tex]L[/tex], за което [tex]L(1)=-1[/tex] и [tex]L(-\frac{1}{ 2})=1[/tex].

Едно такова преобразувание е:[tex]L:\frac{4}{3 }(0.25-x)[/tex].

Окончателно: [tex]a_n=\frac{4}{ 3}(\frac{1}{4 } -cos{\frac{2n\pi }{3 }})=\frac{1}{ 3}-\frac{4}{3 }cos{\frac{2n\pi }{3}}[/tex]

П.П. По принцип това е идеята на Ганка Симеонова, но обяснена малко по-различно.

[ganka simeonova]

Ооо, има и друг запис, но не ми хареса:)
Тригонометричният е по- кратък и добър:)

[inveidar]

Имам чувството, че ги четеш тези записи като Акашиевите!!! Задачката си я измислих сам след като видях нещо подобно, но все пак, би ли ни просветлила с този друг запис?!

[ganka simeonova]

Този запис обаче е с ф-та mod и е по-удачен за програмирането

[inveidar]

А можеш ли да намериш формула с многочлен спрямо [tex]n[/tex]?

[drago]

E, това няма как да стане, ако под многочлен разбираш полином спрямо [tex]n[/tex]

[ganka simeonova]

А можеш ли да намериш формула с многочлен спрямо [tex]n[/tex]?

Многочлен с променлива ест. число? Ужас, но интересно. Нямам идея за сега

[martin123456]

[tex]a_n=-(-1)^{\frac{a_{n-1}+2a_n+a_{n+1}}{2} \pmod {3}[/tex]

[ganka simeonova]

:D
[tex]a_n=-(-1)^{\frac{a_{n-1}+2a_n+a_{n+1}}{2} \pmod {3}[/tex]

Това многочлен ли е или рекурентен запис?

[inveidar]

E, това няма как да стане, ако под многочлен разбираш полином спрямо [tex]n[/tex]

Прав си! Не точно това имах впредвид. Например редицата 1,1,1,-1,1,1,1,-1,1,1,1-1,... има следната формула за общия член [tex]a_{n}= (-1)^{\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{ 2} }[/tex]. За такава формула говорех.

[mkmarinov]

Мисля си, че такова представяне съществува само когато периода е четно число. За 3 със сигурност не става.
Нека [tex]a_n=(-1)^{b_n}[/tex], [tex]c_n=b_{n+1}-b_n[/tex], по подобен начин се дефинират и [tex]d_n,e_n,\dots[/tex].
Разглеждаме четността на редиците:
[tex]b_n[/tex]: [tex]0,0,1,0,0,1,0,0,1,\dots[/tex]
[tex]c_n[/tex]: [tex]0,1,1,0,1,1,0,1,\dots[/tex]
[tex]d_n[/tex]: [tex]1,0,1,1,0,1,1,\dots[/tex]
[tex]e_n[/tex]: [tex]1,1,0,1,1,0,\dots[/tex]
Виждаме (няма нужда от формално доказателство), че всяка следваща редица е същата като предходната, но изместена (shifted) с 2 позиции. Т.к. [tex]b_n[/tex] е полином от крайна степен и общият член на всяка следваща редица е от една степен по-нисък, все за някоя буква (може и китайска да е) ще стигнем до константна редица, четността на чиито елементи пак трябва да е от вида [tex]1,1,0,\dots[/tex] - което е противоречие.

Още нещо - от [tex]c_{n+1}-c_n=d_n=c_{n+2}[/tex] можем да намерим общата форма на [tex]c_n[/tex]. Откъдето се получава и формулата с косинусите.

Всъщност, това с нечетните не е вярно. При период 5 се получава.

[ganka simeonova]

Ето и още едно представяне. Направи ми впечатление, че редицата на Фибоначи започва с нечетно число и при нея винаги се редуват още от началото две нечетни и едно четно..
1;1;2/3;5;8/13;21;34/,....
Освен това числата на Фибоначи се представят и последния начин:

[tex]a_n=(\frac{5-\sqrt{5} }{ 10}) (\frac{1-\sqrt{5} }{ 2} )^{n-1} +(\frac{5+\sqrt{5} }{ 10}) (\frac{1+\sqrt{5} }{ 2} )^{n-1}[/tex] за[tex]n=1; 2; 3;....[/tex]

Тогава общия член на нашата редица може да се запише като:

[tex]A_n=-(-1)^{a_n}; n=1,2,3,....[/tex]

[Станислав]

Някой ще ми обясни ли какво и е олимпиадното на тази задача?

[ganka simeonova]

Някой ще ми обясни ли какво и е олимпиадното на тази задача?

Нали под олимпиадни задачи не разбираш само тези от МОМ

[inveidar]

Аз ще се опитам да ти обясня. Олимпиадното на тази задача е, че е с кратка и ясна формулировка, а за решението и се изисква идея, доста отдалечена от формулировката и. И тази идея решава задачата! За мен това е една типична, нестандартна задача, която на пръв поглед е много лесна, имайки впредвид редицата 1,-1,1,-1,... , но след това се оказва, че изобщо не е така.
Do you understand?
И да. Ганка е абсолютно права, че олимпиадите свършват с МОМ, но започват далеч преди това. Не е лошо човек, като лети в облаците, да има впредвид, че от време на време трябва и да кацне на земята. Макар и за малко.

[inveidar]

Хайде, Станиславе, намери ми общ член от вида [tex](-1)^{f(n)}[/tex], където [tex]f(n)[/tex] е многочлен спрямо [tex]n[/tex] или докажи, че няма такова представяне.

[drago]

Ako [tex]f(n)[/tex] е полином с рационални коефициенти няма как да стане.

[drago]

Имам в предвид в случай, че [tex]f(n)[/tex] е цяло за всяко [tex]n[/tex].

[inveidar]

Ako [tex]f(n)[/tex] е полином с рационални коефициенти няма как да стане.

Защо не? За редицата 1,1,1,-1,1,1,1,-1,1,1,1,-1,... става и формулата е [tex](-1)^{\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{ 2}}[/tex] !

[drago]

Това да. Аз имах предвид за първоначалната редица: [tex]1, 1, -1, 1, 1, -1,...[/tex]