ЗАДАЧКА ОТ АЛГЕБРАТА

[Xixibg]

Числата a,b и c са реални и различни ,за които е изпълнено a+1/b=b+1/c=c+1/a и |a|≥|b|≥|c|,а>0.Да се намерят възможните стойности за числата a,b и c.


П.П. Задачата се решава с материал за 8ми клас

[mkmarinov]

latex... условието не се разбира.

[Xixibg]

Числата a,b и c са реални и различни ,за които е изпълнено:
а+[tex]\frac{1}{b}[/tex]=b+[tex]\frac{1}{c}[/tex]=c+[tex]\frac{1}{a}[/tex]
и |a|≥|b|≥|c|,а>0 (|a|-абсолютна стойност -модул).
Да се намерят всички възможни стойности за числата a,b и c.

[martin123456]

Означаваме равните стойности с [tex]x[/tex].
От 1вите 2 [tex]a=b+\frac{1}{c}-\frac{1}{b}[/tex]
Второто и третото [tex]b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{b+\frac{1}{c}-\frac{1}{b}} \Leftrightarrow \frac{bc+1}{c}=\frac{b^2c^2+2cb-c^2}{b^2c+b-c} \Leftrightarrow (b-c)(b^2c^2+2bc-c^2+1)=0[/tex][tex]\Leftrightarrow (b-c)(bc+1-c)(bc+1+c)=0[/tex].
Има три случая:
1) [tex]b=c[/tex]: [tex]\Rightarrow a=b=c[/tex]
2) [tex]bc+1=c[/tex]: [tex]\Rightarrow x=1[/tex]
и тн

[Xixibg]

Това добре , но се търсят стойностите на [tex]a,b[/tex] и [tex]c[/tex].
Приемам решението до сега.Найстина ако [tex]a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}=x[/tex] при [tex]a\neq b\neq c[/tex] ,[tex]a>0[/tex], [tex]|a|\ge |b|\ge|c|[/tex]
то [tex]x=1[/tex].
В задачата се пита [tex]a=?,b=?,c=?[/tex]

[martin123456]

1) В горното условие не пише че a,b,c са различни. Така че (a,a,a) за а>0 е решение.
3) [tex]bc+1=-c[/tex]: [tex]\Rightarrow x = -1[/tex]. Имаме [tex]ab+1=-b[/tex]. Ако допуснем, че [tex]b>0[/tex] излиза, че [tex]-b=ab+1>1 \Rightarrow b < -1[/tex]. Значи [tex]b<0[/tex]. Значи [tex]-b=ab+1<1 \Rightarrow b>-1\Rightarrow |b|<1[/tex]. Сега [tex]-a=ac+1[/tex]. Ако допуснем, че [tex]c>0 \Rightarrow -a=ac+1>1 \Rightarrow a<-1[/tex]. Значи [tex]c<0[/tex]. Значи [tex]-c=bc+1>1 \Rightarrow c<-1 \Rightarrow |c|>1[/tex]. Но [tex]|b|\ge |c|[/tex]. Противоречие.
2) Остана 2рият случай: [tex]bc+1=c[/tex]: [tex]\Rightarrow x=1[/tex].
Имаме [tex]ab+1=b[/tex] и [tex]ac+1=a[/tex]. Ако [tex]b>0 \Rightarrow b=ab+1>1 \Rightarrow a>1[/tex]. Значи [tex]1<a=ac+1 \Rightarrow c>0[/tex]. Значи [tex]c=bc+1>1 \Rightarrow a=ac+1>2 \Rightarrow c=ac+1>3 \Rightarrow a>3 \Rightarrow[/tex] и тн ще получим безкрайно голяма редица за a и c. Значи [tex]b<0[/tex]. Ако [tex]c<0 \Rightarrow c=bc+1>1[/tex], значи [tex]c>0[/tex]. И така, полагаме [tex]b=-b_1[/tex]. Задачата става [tex]-ab_1+1=-b_1[/tex], [tex]-b_1c+1=c[/tex], [tex]ac+1=a[/tex], [tex]a\ge b_1 \ge c[/tex] и неизвестните са положителни. Записано по друг начин, [tex]ab_1=1+b_1[/tex], [tex]1=b_1c+c[/tex], [tex]a=ac+1[/tex]. От второто [tex]1=c(b_1+1)=ab_1c[/tex]. И така решението на системата е [tex](\frac{1}{1-c},\frac{1-c}{c},c)[/tex]. Трябва да са изпълнени [tex]\frac{1}{1-c}\ge \frac{1-c}{c}\ge c[/tex]. Като го решим получаваме [tex]c \in [\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{-1+\sqrt{5}}{2}][/tex]. И значи решението в този случай са всички 3ки [tex](\frac{1}{1-c},-\frac{1-c}{c},c)[/tex] при [tex]c \in [\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{-1+\sqrt{5}}{2}][/tex].

[Xixibg]

Числата a,b и c са реални и различни ,за които е изпълнено:
а+[tex]\frac{1}{b}[/tex]=b+[tex]\frac{1}{c}[/tex]=c+[tex]\frac{1}{a}[/tex]
и |a|≥|b|≥|c|,а>0 (|a|-абсолютна стойност -модул).
Да се намерят всички възможни стойности за числата a,b и c.

Пише и отличен за решението