Равни отсечки и прав ъгъл

[ins-]

Около триъгълник [tex]ABC[/tex] е описана окръжност [tex]k[/tex]. През върха [tex]C[/tex] е построена допирателна към [tex]k[/tex] - [tex]t[/tex]. Петите на перпендикулярите от [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] към [tex]t[/tex] са означени съответно с [tex]D[/tex] и [tex]E[/tex]. [tex]M[/tex] пресечната точка на [tex]AD[/tex] с [tex]k[/tex], а [tex]N[/tex] e пресечната точка на [tex]BE[/tex] с [tex]k[/tex]. [tex]P[/tex] е пресечната точка на [tex]AN[/tex] и [tex]BM[/tex]. Да се докаже, че [tex]AN=BM[/tex] и [tex]\angle COP=90^\circ[/tex].

[Xixibg]

АМ успоредна на ВN (AD и ВЕ перпендикулярни на t)=> АВNМ е равнобедрен трапец
=> АN=ВМ
▲АМР е равнобедрен (АР=МР) , АО=МО=R
▲AOP е еднакъв на ▲MOP по 3 признак => <АРО=<МРО => РО -ъглополовяща => РО перпендикулярна на AD => РО перпендикулярна СО (СО перпендикулярна t) по условие

[ins-]

За описаната конфигурация е вярно още - aко X е среда на AB, а Y е среда на MN, то DX=EX и DY=EY.