Меню
В равнината са дадени два изпъкнали многоъгълника [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex]. За всяка права [tex]l[/tex] в същата равнна, проекцията на [tex]P[/tex] върху [tex]l[/tex] е поне [tex]2[/tex] пъти по-дълга отсечка отколкото проекцията на [tex]Q[/tex] върху [tex]l[/tex].
Докажете, че чрез транслация може да преместим [tex]Q[/tex], така че да влезе изцяло в [tex]P[/tex].
Регистрация не е нужна, освен при създаване на тема в "Задача на седмицата".
Преместване на изпъкнали многоъгълници.
4 мнения
• Страница 1 от 1
Re: Преместване на изпъкнали многоъгълници.
от ptj » 22 Сеп 2011, 18:12
Транслация определена от центровете на тежестта? 
Re: Преместване на изпъкнали многоъгълници.
от drago » 22 Сеп 2011, 20:14
Eдва ли има връзка с центъра на тежестта.
Имам предвид идвята на решението.
Иначе все някаква връзка има.
Имам предвид идвята на решението.
Иначе все някаква връзка има.
Re: Преместване на изпъкнали многоъгълници.
от drago » 18 Окт 2011, 17:05
Задачата е давана на руския турнир "А. Колмогоров" 2010.
Да вземем произволни 4 върха [tex]W, X, Y, Z[/tex] от многоъгълника [tex]P[/tex].
През [tex]X[/tex] и [tex]Z[/tex] да прекараме прави, съответно [tex]x, z[/tex], успоредни на диагонала [tex]WY[/tex], а през [tex]W, Y[/tex]- прави [tex]w, y[/tex] успоредни на диагонала[tex]XZ[/tex]. Тези 4, две по две успоредни прави, ограничават един успоредник. Да допуснем, че е изпълнено следното условие:
(1) Успоредника, ограничен от правите [tex]w,x,y,z[/tex] изцяло съдържа многоъгълника [tex]P[/tex].
Тогава, ако вземем средите [tex]M,N,S,T[/tex] съответно на: [tex]WX, XY, YZ, ZW[/tex], то страните на успоредника [tex]MNST[/tex] ще са успоредни и два пъти по-малки от страните на успоредника, ограничен от [tex]w,x,y,z[/tex] и поради това, че [tex]P[/tex] е изпъкнал, [tex]MNST[/tex] ще се съдържа изцяло в [tex]P[/tex].
Oт условието на задачата следва, че има успоредник с успоредни и два пъти по малки страни от тези на успоредника ограничен от[tex]w,x,y,z[/tex], който изцяло съдържа [tex]Q[/tex]. Сега като преместим успоредно този успоредник в [tex]MNST[/tex] ще намерим исканата транслация.
Остава така да подберем върховете [tex]W, X, Y, Z[/tex], че да е изпълнено (1).
Нека измежду всички четериъгълници с върхове съвпадащи с някои 4 върха на [tex]P[/tex] изберем онзи [tex]W, X, Y, Z[/tex], чието лице е най-голямо.
Поради самия избор се вижда, че за този четериъгълник е изпълнено (1).
Да вземем произволни 4 върха [tex]W, X, Y, Z[/tex] от многоъгълника [tex]P[/tex].
През [tex]X[/tex] и [tex]Z[/tex] да прекараме прави, съответно [tex]x, z[/tex], успоредни на диагонала [tex]WY[/tex], а през [tex]W, Y[/tex]- прави [tex]w, y[/tex] успоредни на диагонала[tex]XZ[/tex]. Тези 4, две по две успоредни прави, ограничават един успоредник. Да допуснем, че е изпълнено следното условие:
(1) Успоредника, ограничен от правите [tex]w,x,y,z[/tex] изцяло съдържа многоъгълника [tex]P[/tex].
Тогава, ако вземем средите [tex]M,N,S,T[/tex] съответно на: [tex]WX, XY, YZ, ZW[/tex], то страните на успоредника [tex]MNST[/tex] ще са успоредни и два пъти по-малки от страните на успоредника, ограничен от [tex]w,x,y,z[/tex] и поради това, че [tex]P[/tex] е изпъкнал, [tex]MNST[/tex] ще се съдържа изцяло в [tex]P[/tex].
Oт условието на задачата следва, че има успоредник с успоредни и два пъти по малки страни от тези на успоредника ограничен от[tex]w,x,y,z[/tex], който изцяло съдържа [tex]Q[/tex]. Сега като преместим успоредно този успоредник в [tex]MNST[/tex] ще намерим исканата транслация.
Остава така да подберем върховете [tex]W, X, Y, Z[/tex], че да е изпълнено (1).
Нека измежду всички четериъгълници с върхове съвпадащи с някои 4 върха на [tex]P[/tex] изберем онзи [tex]W, X, Y, Z[/tex], чието лице е най-голямо.
Поради самия избор се вижда, че за този четериъгълник е изпълнено (1).
4 мнения
• Страница 1 от 1
Назад към Състезания за 9 - 12 клас
Кой е на линия
Регистрирани потребители: Google [Bot]