Равностранен триъгълник

[ins-]

На страната [tex]AC[/tex] на равностранния триъгълник [tex]ABC[/tex] със страна [tex]a[/tex] е избрана точка [tex]D[/tex]. На страната [tex]BC[/tex] са избрани точки [tex]E[/tex] и [tex]F[/tex]. Известно е, че [tex]CD=CE=BF[/tex] [tex]\lt[/tex] [tex]\frac{1}{2}a[/tex]. [tex]M[/tex] е средата на отсечката [tex]AE[/tex]. Да се докаже, че [tex]\angle DMF = 90^\circ[/tex].

[inveidar]

Нека [tex]AN=DE[/tex]и [tex]N\in AB[/tex]. Лесно се доказва, че триъгълникът [tex]NFD[/tex] е равностранен, а също така, че [tex]ANED[/tex] е успоредник. Тогава [tex]FM[/tex] се явява медиана, а следователно и височина към страната [tex]ND[/tex] на равностранния триъгълник [tex]NFD[/tex].

[ins-]

1/1000000 беше да се сетя да направя тези построения. Забелязах твърдението самостоятелно, но имам чувството, че съм виждал задачата някъде.

[inveidar]

Виждал си задачата, че [tex]\Delta NDE[/tex] е равностранен. Иначе тази твойта задачка е нещо като следствие от нея.

[ins-]

И "моята" задача ми е много позната отнякъде. За NDE е много известна и лесна. Имам чувството, че съм виждал нещо подобно на руска олимпиада.

[inveidar]

И "моята" задача ми е много позната отнякъде.

Ами остава да ни кажеш от къде?!

[ins-]

колко процента от участниците в състезание за 7 клас биха решили тази задача? Реално мястото ѝ е в "Състезания/олимпиади по математика за 7-8 клас".

[ptj]

Нека [tex]AN=DE[/tex]и [tex]N\in AB[/tex]. Лесно се доказва, че триъгълникът [tex]NFD[/tex] е равностранен, а също така, че [tex]ANED[/tex] е успоредник. Тогава [tex]FM[/tex] се явява медиана, а следователно и височина към страната [tex]ND[/tex] на равностранния триъгълник [tex]NFD[/tex].

Пропуснал си да споменеш, че от успоредника [tex]ANED[/tex] и от [tex]M[/tex] - среда на [tex]AE[/tex] следва, точките [tex]D[/tex], [tex]N[/tex] и [tex]F[/tex] лежат на една права.

П.П. Тази задача ми е почти набор.

[inveidar]

Нека [tex]AN=DE[/tex]и [tex]N\in AB[/tex]. Лесно се доказва, че триъгълникът [tex]NFD[/tex] е равностранен, а също така, че [tex]ANED[/tex] е успоредник. Тогава [tex]FM[/tex] се явява медиана, а следователно и височина към страната [tex]ND[/tex] на равностранния триъгълник [tex]NFD[/tex].

Пропуснал си да споменеш, че от успоредника [tex]ANED[/tex] и от [tex]M[/tex] - среда на [tex]AE[/tex] следва, точките [tex]D[/tex], [tex]N[/tex] и [tex]F[/tex] лежат на една права.

Това в червеното не го разбирам?!?!?!

[ptj]

Блял съм някъде.

Трябваше да са точките [tex]D[/tex], [tex]N[/tex] и [tex]M[/tex]. Ти реално използваш (доказваш), че т.[tex]M[/tex] е среда на [tex]DN[/tex]. По принцип на състезание или изпит при подобен пропуск може да ти отнемат част от точките за задачата.

П.П. Задачата може да се реши без допълнителни построения със скаларно проиведение на вектори .

[ins-]

П.П. Тази задача ми е почти набор.

Къде си я виждал? Не ми се рови в момента, защото "базата" не е малка
Може някое от следващите твърдения, които забележа да не ти e познатo.

[ptj]

Доколкото си спомням на състезание по математика за 8-ми клас в периода 81-84 година. Най-вероятно в Ямбол или Русе.

[ins-]

Определено това състезание ми е непознато, а ако се е появявала там - може да е още по-стара.