Задачка от състезание по математика 76-та година

[atnast]

Да се реши уравнението [tex](a^{2}-a)^{2}.(x^{2}-x+1)^{3}=(x^{2}-x)^{2}.(a^{2}-a+1)^{3}[/tex].

[martin123456]

Разглеждаме функцията [tex]f(t)=\frac{(t^2-t)^2}{(t^2-t+1)^3}[/tex]. Уравнението в задачата e [tex]f(a)=f(x)[/tex].
Графиката на тази функция може да се види на прикачения файл.
Имаме есктремуми в точките -1, 0, 0.5, 1, 2. В [tex]x=0[/tex] имаме хоризонтална асимптота. Пресмятаме им стойнсотите: [tex]f(-1)=\frac{4}{27}[/tex], [tex]f(0)=0[/tex], [tex]f(0.5)=\frac{4}{27}[/tex], [tex]f(1)=0[/tex], [tex]f(2)=\frac{4}{27}[/tex].
Сега от графиката правим следните изводи за решенията на уравнението tex]f(x)=f(a)[/tex]:
1) [tex]a \in \{-1,0,0.5,1,2\}[/tex]: [tex]x \in \{-1,0,0.5,1,2\}[/tex]
2) [tex]a \not \in \{-1,0,0.5,1,2\}[/tex]. Тогава за всяко [tex]a[/tex] от това множество ще имаме 6 решения за [tex]x[/tex] - понеже всяка права успоредна на абсцисата с [tex]y \in (0,\frac{4}{27})[/tex] пресича графиката в 6 точки точно. Макар че сега ме мързи да се взра кои точно са тези x, изразени с a.

[drago]

Човек може да каже, че го мързи и да спре, когато остават да бъдат сметнати някакви досадни технически подробности.
Не бих казал, че случаят е такъв.
Нещо повече, мисля, че даже не е докосната основната идея, която решава задачата.

[Xixibg]

Ето едно друго предложение.

1.Ясно е ,че за [tex]x=a[/tex] задачата е изпълнена.
2.Както и[tex]x=1 ; a=0[/tex]и[tex]x=0 ; a=1[/tex] също са решения
3.Нека [tex]x^2-x=y , a^2-a=b ,DM: y\ge-\frac{1}{4} ; b\ge-\frac{1}{4}[/tex]
[tex]=>b^2(y+1)^3=y^2(b+1)^3[/tex]
Нека y=kb
[tex]=> b^2(kb+1)^3=(kb)^2(b+1)^3[/tex]
[tex]=>b^2(k^3b^3+3k^2b^2+3kb+1)=k^2b^2(b^3+3b^2+3b+1)[/tex]
[tex]=>b^2[b^3(k^3-k^2)+b^2(3k^2-3k^2)+b(3k-3k^2)+1-k^2]=0[/tex]
[tex]=>b^2(k-1)(k^2b^3-3kb-k-1)=0[/tex]
От тук решаваме относно [tex]k[/tex] , уравнението [tex]k^2b^3-k(3b+1)-1=0[/tex]
[tex]D=9b^2+6b+1+4b^3=(b+1)^2(4b+1)[/tex]
[tex]k_1=\frac{3b+1-(b+1)\sqrt{4b+1}}{2b^3}[/tex]
[tex]k_2=\frac{3b+1+(b+1)\sqrt{4b+1}}{2b^3}[/tex]
[tex]k_3=1[/tex]
[tex]b=0[/tex]
[tex]=> y=kb=> , y_1=\frac{3b+1-(b+1)\sqrt{4b+1}}{2b^2} , y_2=\frac{3b+1+(b+1)\sqrt{4b+1}}{2b^2} , y_3=b[/tex]
[tex]=>y_1=\frac{3(a^2-a)+1-(a^2-a+1)\sqrt{4a^2-4a+1}}{2(a^2-a)^2}=\frac{3(a^2-a)+1-(a^2-a+1)(2a-1)}{2(a^2-a)^2}[/tex]
[tex]=>y_2=\frac{3(a^2-a)+1+(a^2-a+1)\sqrt{4a^2-4a+1}}{2(a^2-a)^2}=\frac{3(a^2-a)+1+(a^2-a+1)(2a-1)}{2(a^2-a)^2}[/tex]
Трябва да се направят няколко проверки за [tex]y\ge -\frac{1}{4}[/tex] и да се намерят стойностите за [tex]x[/tex] ,но това следващият път

[Xixibg]

Продължение:
[tex]y_1=\frac{3(a^2-a)+1-(a^2-a+1)(2a-1)}{2(a^2-a)^2}=\frac{3a^2-3a+1-(2a^3-3a^2+3a-1)}{2a^2(a-1)^2}[/tex]
[tex]y_1=\frac{3a^2-3a+1-2a^3+3a^2-3a+1}{2a^2(a-1)^2}=\frac{-2a^3+6a^2-6a+2)}{2a^2(a-1)^2}=\frac{-2(a-1)^3}{2a^2(a-1)^2}[/tex]
[tex]y_1=-\frac{(a-1)}{a^2} , y_1\ge -\frac{1}{4}[/tex]
[tex]=> \frac{(a-1)}{a^2}\le \frac{1}{4}, => \frac{4a^2-8a+4-a^2}{4a^2}\le 0 , => \frac{3a^2-8a+4}{4a^2}\le 0[/tex]
[tex]a\in [\frac{2}{3};2][/tex]
[tex]y_2=\frac{3(a^2-a)+1+(a^2-a+1)(2a-1)}{2(a^2-a)^2}=\frac{3a^2-3a+1+2a^3-3a^2+3a-1}{2a^2(a-1)^2}[/tex]
[tex]y_2=\frac{3a^2-3a+1+2a^3-3a^2+3a-1)}{2a^2(a-1)^2}=\frac{2a^3}{2a^2(a-1)^2}[/tex]
[tex]y_2=\frac{a}{(a-1)^2} , y_2\ge -\frac{1}{4}[/tex]
[tex]=> \frac{a}{(a-1)^2}\ge -\frac{1}{4}, => \frac{4a+a^2-2a+1}{4(a-1)^2}\ge 0 , =>\frac{(a+1)^2}{4(a-1)^2}\ge 0[/tex]
[tex]=>[/tex] всяко [tex]a[/tex] е решение.
[tex]=> x^2-x=y_1 , => x^2-x+\frac{(a-1)}{a^2}=0[/tex]
[tex]D_1=1-\frac{4(a-1)}{a^2}=\frac{a^2-4a+1}{a^2}[/tex]
[tex]D_1\ge 0 => \frac{a^2-4a+1}{a^2} \ge 0 , => a\in(-\infty;2-\sqrt{3}]\cup[2+\sqrt{3};\infty ][/tex] ,но [tex]a\in [\frac{2}{3};2] , =>[/tex] н.р.
[tex]=> x^2-x=y_2 , => x^2-x-\frac{a}{(a-1)^2}=0 , D_2=1+\frac{4a}{(a-1)^2}=\frac{a^2-2a+1+4a}{(a-1)^2}=\frac{(a+1)^2}{(a-1)^2}[/tex]
[tex]D_2\ge 0[/tex] за всяко [tex]a[/tex]
[tex]x_1=\frac{1+\sqrt{\frac{(a+1)^2}{(a-1)^2}}}{2}=\frac{a-1+a+1}{2(a-1)}=\frac{a}{a-1} , x_2=\frac{1-\sqrt{\frac{(a+1)^2}{(a-1)^2}}}{2}=\frac{a-1-a-1}{2(a-1)}=\frac{-1}{a-1}[/tex]
Или обобщено [tex]x_1=\frac{a}{a-1} , a\ne 1[/tex] , [tex]x_2=-\frac{1}{a-1} , a\ne1[/tex] , [tex]x_3=a[/tex] , [tex]x_4=0[/tex] ,при [tex]a=1[/tex]
Това е ако нямам някъде техническа грешка..

[drago]

Това, което трябва да се забележи е, че уравнението/(функцията на Мартин) не се променя при всяка една от следните субституции:
(1) [tex]\phi: x \map 1-x[/tex]
(2) [tex]\psi: x \map \frac{1}{x}[/tex]
и естествено всяка суперпозиция на (1) и (2)
Тъй като [tex]x=a[/tex] e решение, то решения ще бъдат и [tex]1-a,\, \frac{1}{a}, \,\, 1-\frac{1}{a}, \, \frac{1}{1-a},\, 1- \frac{1}{1-a}[/tex]. Дотук, в общия случай, станаха 6. Може да се провери, че по този начин не може да генерираме повече несъвпадащи стойности. Или , както пише в дебелите книги, крайната група, породена от двете трансформации (1), (2) е от 6 елемента.
Остава , да се видят частните случаи, когат [tex]a[/tex] е неподвижна точка на (1) или (2)([tex]1[/tex] и [tex]\frac{1}{2}[/tex]) и всички техни орбити като се приложат (1) и (2), всъщност това, което е направил Мартин.