Лисица и заек

[drago]

В един друг форум се въртеше следната задача, взета от лонглиста на някаква IMO.

В центъра на равностранен триъгълник се намира лисица, а в един от върховете му- заек. Заекът може да се движи само по страните на триъгълника, а лисицата- навсякъде.

Ако [tex]u, \, v[/tex] са съответно скоростите на лисицата и заека, да се докаже:

а) При [tex]u > \frac{v}{2}[/tex] лисицата може да хване заека, независимо какво прави той.

б) При [tex]u \le \frac{v}{2}[/tex] заекът може да се измъкне от лисицата, независимо от нейното поведение.

[martin123456]

Само да напиша нещо малко.
Тази задача спада към "Pursuit problem" задачите.
Идеята е, че допирателната към графиката на движение на лисицата е винаги успоредна на отсечката, свързваща лисицата и заека.
Уравнението на движение на заека е ясно, разстоянието между лисица и заек в началото също е ясно и значи може да се пресметне уравнението на движение на лисицата.

[drago]

Не знам защо мислиш, че лисицата трябва да се движи в посока към заека. В някои случаи това не и носи печалба. Със сигурност, когато скоростта и е мъничко по-голяма от половината на заешката това не е нейния начин.
И въобще, ако нещата се решаваха със съставянето на някакви диференциални у-ния нямаше да бъде в лонглиста за IMO.
Задачата е по силите на осмокласник. Преди време в този форум имаше нещо подобно:
viewtopic.php?f=10&t=4712
Разбира се нещата не са същите, но известно сходство има.

[ptj]

Задачата не е по силите на стандартен 8-мо класник. Ако говориш за състезателите - обикновено те в 8-ми или 9-клас вече са готови да кандидатстват във ВУЗ.

Наистина има стратегия за лисицата, но тя е свързана с идеята за разбиване на времето на равни в интервали, в които тя и заека се движат праволинейно.

1.)Ако заека тръгне по някоя страна лисицата тръгва перпендикулярно към нея.
2.)Ако заека се връща към ъгъл, лисицата се движи успоредно на него.

Същественото е, че по този начин местата на лисицата, заека и евентуалната среща образуват правоъгълен триъгълник с ъгъл при заека 30°, а при лисицата 60°. Тогава граничната точка за стратегията е съотношение на скоростите "заек:лисица "=[tex]ctg30^\circ =\sqrt{3}\approx1.7321[/tex].

Реципрочната стойност е малко по-голяма от 0.5, което ме навежда на мисълта за евентуална грешка в условието. Наистина ако се замисли човек при скорост на заека над граничната той може да пази същото съотнощение спрямо лисицата (правоъгълен триъгълник с прилежаш ъгъл 30°) и запазвайки същата стратегия да избяга (независимо от посоката на движение на лисицата).

[drago]

Имах предвид, че се решава със знания за 8-ми клас.
Относно стратегията на лисицата, която предлагаш. Сам си си отговорил, че ако скоростта на заека е 1.8 , а на лисицата 1 то той се изплъзва. И тъй като задачата не е грешна, значи грешката е на друго място.

[ptj]

Имах предвид, че се решава със знания за 8-ми клас.
Относно стратегията на лисицата, която предлагаш. Сам си си отговорил, че ако скоростта на заека е 1.8 , а на лисицата 1 то той се изплъзва. И тъй като задачата не е грешна, значи грешката е на друго място.

О.К. При съотношение 1,8 заека се движи само праволинейно до центъра на страната, как лисицата ще успее да го хване?

П.П. Нали според условието [tex]1>\frac{1,8}{2 }[/tex]...

[drago]

До центъра на страната няма да го хване, обаче, ако иска да отиде до другия връх може да му попречи. (Как?). И така лисицата трябва така да се движи, че винаги да може да попречи на заека да стигне друг връх на триъгълника и полека-лека да го притиска. Това като някаква идея.

[ptj]

Виж сега: ъглополовящата на началния (за заека) е граничната права при бягството на заека спрямо лисицата. Достатъчно е той да пази съотнощението "растояние до връх" : "най-къс път на лисицата до страна">[tex]\sqrt{3}[/tex]. Аз имам предвид, че заека може да се движи и назад.

П.П. Целта на заека е да се намира в ъгъл, когато лисицата е на съответната ъглополовяща.

[drago]

Малко означения. Триъгълникът е [tex]ABC[/tex], заекът е във върха [tex]C[/tex], лисицата e в центъра [tex]O[/tex], [tex]CH[/tex] е височината към [tex]AB[/tex], през [tex]O[/tex] е прекарана права успоредна на [tex]AB[/tex], която пресича [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex] съответно в точки [tex]A_1[/tex] и [tex]B_1[/tex]. Нека с [tex]R[/tex] означаваме положението на заека, а с [tex]F[/tex]- на лисицата.
а) [tex]u > \frac{v}{2}[/tex].
Първо да забележим, че лисицата може да се движи върху [tex]A_1B_1[/tex], така че винаги да се намира в проекцията [tex]R^'[/tex] на [tex]R[/tex] в/у [tex]A_1B_1[/tex]. В смисъл, че ще и стигне скоростта да бъде постоянно в [tex]R^'[/tex], че даже няма да се движи на max скорост. Е, точно тази допълнителна скорост, която може да развие оправя всичко. Защото може да я сложи като вертикална компонента в посока заека. Значи да си представим, че цялата отсечка [tex]A_1B_1[/tex] се движи с този излишък от скорост нагоре към заека, като остава успоредна на [tex]AB[/tex], лисицата стои в/у нея и поддържа положението си така, че да съвпада с проекцията на заека в/у нея. И така го скуизира докато не се сблъска с него

б) Нека първо [tex]u < \frac{v}{2}[/tex]. За определеност нека страната на триъгълника е 1.
Стратегията на заека е следната: Чака докато лисицата не го наближи на [tex]\frac{1}{4}[/tex]. След това бегом към единия от двата върха [tex]B[/tex] или [tex]C[/tex], който е по отдалечен от лицицата. Ако и двата са на едно разстояние от нея- без значение. Няма земна сила, която да му попречи да стигне в този връх, при това, когато стигне, лисицата ще е по далеч от [tex]\frac{1}{4}[/tex] от него. И всичко се повтаря...
Нека накрая [tex]u = \frac{v}{2}[/tex]. Стратегията на заека е малко по-сложна. Пак чака лисицата да стигне на [tex]\frac{1}{4}[/tex] от него. Пак тръгва към по-далечния връх. Единствения начин лисицата да му попречи да стигне е в този момент да се намира върху [tex]CH[/tex] и да почне да държи курс успореден на [tex]AB[/tex]. Тогава заекът пробягва разстояние [tex]\frac{1}{8}[/tex] в посока към [tex]B[/tex], след което започва да се връща към [tex]C[/tex]. Лисицата трябва също да поеме курс перпендикулярен към [tex]CH[/tex], защото ако тя не е върху [tex]CH[/tex] в момента, в който заека стъпи отново в [tex]C[/tex], то не може да му попречи да стигне в [tex]A[/tex]. И така или това ще се повтаря или ще го изпусне и заекът ще отиде до [tex]A[/tex] и там ще започне същото.