Фестивал на младите математици

[1089]

Ще пускам интересни задаяи от втория фестивал на младите математици. Възрастовата група е 8-9 клас. И така:

Ден 1, задача 3

Нека n>3 е естествено число. Колко най-много са върховете на n-ъгълник М, през всеки от които НЕ може да се прекара диагонал, лежащ изцяло в М?

Ден 1, задача 6

Да се намерят всички цели решения на уравнението:
[tex]x^3+(x+1)^3+(x+2)^3+(x+3)^3+(x+4)^3+(x+5)^3+(x+6)^3+(x+7)^3=y^3[/tex]

[martin123456]

6
[tex]8x^3+3x^2(1+2+3+4+5+6+7)+3x(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2)+[/tex][tex](1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3)=y^3[/tex]
[tex]8x^3+3x^2.28+3x.140+784=y^3 \leftrightarrow (2x)^3+3.7(2x)^2+3.70(2x)+98.8=y^3[/tex][tex]z^3+21z^2+210z+98.8=y^3 \Leftrightarrow z^3+3z^2.7+3z.7^2+7^3+ 63z+441=y^3[/tex][tex]\Rightarrow(z+7)^3+9.7(z+7)=y^3[/tex]. [tex]t=z+7[/tex], [tex]t^3+63t=y^3[/tex]. Нека [tex]p \in \mathbb{P}[/tex] и [tex]p|t \Rightarrow p|y \Rightarrow p^3|y^3\Rightarrow p^3|(t^3+63t)\Rightarrow p^2|63 \Rightarrow p=3[/tex]. И така [tex]t=3^{\alpha} \Rightarrow 3^{3\alpha}+7.3^{\alpha+2}=y^3[/tex]. Ако [tex]y=3^{\beta}s[/tex], [tex](3,s)=1[/tex], то [tex]\alpha+2=3\beta[/tex]. [tex]3^{3\alpha}+7.3^{\alpha+2}=3^{\alpha+2}s^3[/tex].[tex]3^{2\alpha-2}+7=s^3[/tex]. Ако [tex]\alpha=1\Rightarrow s=2\Rightarrow t=3\Rightarrow z=-4\Rightarrow x=-2 \Rightarrow y=6[/tex]. Aко [tex]\alpha>1[/tex]. Ще докажем, че това няма решение. Разглеждаме модул 7. [tex]x^3 \equiv 0, \pm 1\pmod{7}[/tex]. [tex]9^{\alpha-1}+7 \equiv 2^{\alpha-1} \pmod{7}[/tex]. Като разгледаме остатъците на [tex]2^{\gamma}[/tex] излиза, че [tex]\alpha -1 \equiv 0 \pmod{3}[/tex]. Пишем [tex]\alpha-1=3k[/tex]. Задачата става [tex](9^k)^3+7=s^3[/tex]. Значи [tex]7=(s-9^k)(s^2+s9^k+9^{2k}))[/tex], значи [tex]s-9^k=1[/tex] и [tex]s^2+s9^k+9^{2k}=7[/tex], значи [tex]9^k=s-1 \Rightarrow s^2+s^2-s+s^2-2s+1=7 \Leftrightarrow s^2-s-2=0[/tex], [tex]s=2 \Rightarrow 9^k=1\Rightarrow k=0\Rightarrow \alpha =1[/tex], противоречие.

[1089]

не забравяй че числата са цели. Има още решения...

[mkmarinov]

Ще продължа от [tex]t^3+63t=y^3[/tex]
Нека първо разгледаме случая [tex]t|y[/tex]. Тогава [tex]y=kt[/tex]:
[tex]t^3+63t=k^3t^3[/tex], [tex]t^2(k^3-1)=63[/tex]. Имаме два възможни случая - [tex]k=2; t= \pm 3[/tex] и [tex]k=4; t = \pm 1[/tex]. От първите две получаваме двойките [tex](-2;6); (5;-6)[/tex], а от другите - [tex](-3;4); (-4;-4)[/tex].
Нека [tex]t=ua[/tex], [tex]y=va[/tex] и [tex](u,v)=1[/tex], като двете числа не са +/- 1.
[tex]u^3a^2+63=v^3a^2[/tex]
[tex]a^2(v^3-u^3)=63[/tex]
a не е 1, защото тогава t,y биха били взаимно прости. Тогава [tex]a^2=9[/tex], а
[tex]v^3-u^3=7[/tex]
[tex](v-u)(v^2+uv+u^2)=7[/tex]. Ако [tex]v-u=\pm 1[/tex], получаваме [tex]3uv=-8[/tex] - противоречие.
Aко [tex]v-u=\pm 7[/tex], получаваме [tex]uv=-16[/tex], но те са взаимно прости, откъдето едно от тях е равно на +/-1, което е противоречие .

[drago]

...
Ден 1, задача 3

Нека n>3 е естествено число. Колко най-много са върховете на n-ъгълник М, през всеки от които НЕ може да се прекара диагонал, лежащ изцяло в М?
...

Задачата е направо попадение! Харесва ми. Какво е това състезание?

[1089]

математически бой(отбор от 5-6 човека решават 8 задачи за около 4-5 часа и след това играят срещу друг отбор)

[dim]

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=6666