CP=2AP

[ins-]

Триъгълник [tex]ABC[/tex] е вписан в окръжност [tex]k[/tex]. Височината през [tex]C[/tex] пресича [tex]AB[/tex] и [tex]k[/tex], съответно в точките [tex]D[/tex] и [tex]E[/tex]. [tex]F[/tex] е среда на [tex]BD[/tex]. Права [tex]l[/tex] през [tex]D[/tex], перпендикулярна на [tex]EF[/tex] пресича отсечката [tex]AC[/tex] в точка [tex]P[/tex]. Да се докаже, че [tex]CP=2AP[/tex].

[ganka simeonova]

Лека и симпатична задачка

Нека Н е ортоцентърът на АВС=>[tex]HD=DE[/tex]. Нека [tex]EF[/tex] пресича [tex]HB[/tex] в т. К и [tex]DQ//EK[/tex]
Тогава [tex]DQ[/tex] е средна отсечка в [tex]\Delta HEK=>HQ=QK[/tex]
[tex]FK[/tex] е средна отсечка в [tex]\Delta DBQ=>QK=KB[/tex]=>[tex]HQ:QB=1:2[/tex]
От подбието на двойките триъгълници [tex]\Delta ADP; \Delta HDQ[/tex] и [tex]\Delta ADC; \Delta HDB[/tex]=>[tex]AP:PC=1:2[/tex]

[ins-]

Съгласен съм с изказаното мнение. Задачата може да бъде решена по много начини. Някои от тях могат да бъдат видяни на линковете по-долу:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 9#p2458109
http://dxdy.ru/topic49705.html

[inveidar]

Ето това, според мен, е наистина хубава задачка!

[ins-]

Благодаря! Някой ден се надявам да "открия" нещо наистина красиво.

[mkmarinov]

Ето и малко по-кратко решение, с тригонометрия и без допълнителни построения. Ще означим [tex]\angle BAC = \alpha[/tex], [tex]\angle ADP = x[/tex].
От синусова теорема за триъгълник ADP: [tex]\frac{AP}{sinx}=\frac{PD}{sin\alpha}[/tex]
От синусова теорема за триъгълник CDP: [tex]\frac{CP}{cosx}=\frac{PD}{cos\alpha}[/tex]
Откъдето следва, че [tex]\frac{AP}{CP}=tgx cotg \alpha[/tex]

В триъгълник EDF: [tex]\angle DEF=x => tgx=\frac{DF}{DE}[/tex]
В триъгълник EBD: [tex]\angle EBD \equiv \angle EBA = \angle ACE = \frac{\pi}{2}-\alpha[/tex], откъдето
[tex]cotg\alpha = tg \angle EBD = \frac{ED}{BD}=\frac{DE}{2.DF}[/tex]

Откъдето [tex]\frac{AP}{CP} = tgx cotg\alpha = \frac{DF}{DE}. \frac{DE}{2DF} = \frac{1}{2}[/tex]