Диаметър и равни отсечки

[ins-]

От точка P са построени допирателните PA и PB към окръжност k. AC е диаметър на k. Перпендикулярът от B към CP пресича AC и лъча PA съответно в точки D и E. Да се докаже, че D е среда на BE.

[inveidar]

Лесно се доказва, че [tex]\Delta ABE \sim \Delta TAB \Rightarrow \frac{BE}{AB }=\frac{AB}{TA }[/tex] (1),

[tex]\Delta ABD \sim \Delta TCB \Rightarrow \frac{BD}{AB }=\frac{CB}{TC }[/tex] (2).

От (1) и (2) получаваме [tex]\frac{BE}{ AB}=\frac{AB.TC}{TA.CB }=\frac{TA.CB+TB.AC}{TA.CB } =1+\frac{TB.AC}{TA.CB }[/tex] (3).

За последното използвахме теоремата на Птолемей за вписания четириъгълник [tex]ACBT[/tex].

Сега [tex]\Delta ATC \sim \Delta PAC \Rightarrow \frac{TA}{AC }=\frac{AP}{PC }\Rightarrow TA=\frac{AP.AC}{PC }[/tex] (4),

[tex]\Delta CBP \sim \Delta BTP \Rightarrow \frac{CB}{BT }=\frac{PC}{PB }\Rightarrow CB=\frac{BT.PC}{PA }[/tex] (5).

От (4) и (5) получаваме [tex]TA.CB=\frac{AP.AC}{PC }.\frac{BT.PC}{PA }[/tex] и като заместим в (3) [tex]\frac{BE}{ED }=1+1=2[/tex].

mmmmm.png (52.01 KiB) Прегледано 287 пъти

[ins-]

Както каза един приятел като видя решението - "inveidar пак показа класа".

[ganka simeonova]

Както каза един приятел като видя решението - "inveidar пак показа класа".

Абсолютно е така!

[inveidar]

Лесно се доказва, че [tex]\Delta ABE \sim \Delta TAB \Rightarrow \frac{BE}{AB }=\frac{AB}{TA }[/tex] (1),

[tex]\Delta ABD \sim \Delta TCB \Rightarrow \frac{BD}{AB }=\frac{CB}{TC }[/tex] (2).

От (1) и (2) получаваме [tex]\frac{BE}{ BD}=\frac{AB.TC}{TA.CB }=\frac{TA.CB+TB.AC}{TA.CB } =1+\frac{TB.AC}{TA.CB }[/tex] (3).

За последното използвахме теоремата на Птолемей за вписания четириъгълник [tex]ACBT[/tex].

Сега [tex]\Delta ATC \sim \Delta PAC \Rightarrow \frac{TA}{AC }=\frac{AP}{PC }\Rightarrow TA=\frac{AP.AC}{PC }[/tex] (4),

[tex]\Delta CBP \sim \Delta BTP \Rightarrow \frac{CB}{BT }=\frac{PC}{PB }\Rightarrow CB=\frac{BT.PC}{PA }[/tex] (5).

От (4) и (5) получаваме [tex]TA.CB=\frac{AP.AC}{PC }.\frac{BT.PC}{PA }[/tex] и като заместим в (3) [tex]\frac{BE}{BD }=1+1=2[/tex].

Поправих две букви!!!