Bulgaria TST, IMO 2007- 1-st test, problem 2

[drago]

В изпъкналия петоъгълник [tex]A_1A_2A_3A_4A_5[/tex] триъгълниците: [tex]A_1A_2A_3, \, A_2A_3A_4, \, A_3A_4A_5, \, A_4A_5A_1, \, A_5A_1A_2[/tex] имат равни лица. Докажете, че в равнината съществува точка [tex]M[/tex], такава че триъгълниците: [tex]A_1MA_2, \, A_2MA_3, \, A_3MA_4, \, A_4MA_5, \, A_5MA_1[/tex] също имат равни лица.

[ptj]

[tex]A_2A_3 \parallel A_1A_4[/tex] , [tex]A_3A_4\parallel A_2A_5[/tex] , [tex]A_4A_5\parallel A_1A_3[/tex] , [tex]A_5A_1\parallel A_2A_4[/tex] , [tex]A_1A_2\parallel A_3A_5[/tex] - равни височини.

Това не води ли до правилен 5-то ъгълник?

[drago]

Не ptj, не е задължително. Обаче твоят въпрос ме накара да се замисля, как може да конструираме (всички) такива петоъгълници. Правилният е тривиалния случай. Обаче се оказва, че всички петоъгълници, удовлетворяващи задачата, могат да се получат от правилния, като го проектираме в различни равнини. Тъй като при проекция успоредните прави отиват в успоредни, то произволна проекция на правилния петоъгълник ще удовлетворява исканията. Освен това съотношението м/у лица на фигури също се запазва при проекция, така че образа на центъра на правилния петоъгълник ще е исканата точка. Обаче все още не сме приключили. Остава да покажем, по този начин можем да получим всеки петоъгълник удовлетворяващ условието. Да вземем произволен такъв [tex]A_1A_2A_3A_4A_5[/tex] . Можем така да изберем равнините, че [tex]A_1, A_2,A_4[/tex] да се проектират във върховете [tex]B_1, B_2,B_4[/tex] на правилния петоъгълник [tex]B_1B_2B_3B_4B_5[/tex]. От там нататък остава да покажем, че по тези три върха еднозначно се възстановява петоъгълник удовлетворяващ условията на задачата.

Напомни ми също на една задача за два триъгълника един в друг, на която inveidar беше предложил решение с проектиране в равностранен.

[ptj]

Хм, коментара ти ме наведе на друга идея. Понеже при успоредно проектиране се запазва съотношението на отсечките върху една права и се запазва успоредността, то може веднага да се каже къде е образа на центъра на тежеста на правилния петоъгълник. Той е точно на пресечената точка на правите, свързващи връх и среда на срещуположна страна. Нещо повече и 5-те се пресичат в една точка. Може би ще помисля по тази възможност за чисто планиметрично решение.