Система уравнения

[ins-]

Да се реши (в реални числа) системата:
[tex]x^4+y^4+z^4=3[/tex]
[tex]x^5+y^5+z^5=3[/tex]
[tex]x^6+y^6+z^6=3[/tex]

[martin123456]

[tex]a^6+a^4 \ge 2a^5 \Leftrightarrow (a^3)^2+(a^2)^2 - 2a^3a^2 \ge 0 \Leftrightarrow (a^3-a^2)^2 \ge 0[/tex]
Като съберем 1во и 3те уравнение получаваме [tex]6=\sum{(x^6+x^4)} \ge 2\sum{x^5}=6[/tex], значи равенство.
Равенство се достига когато всяко едно от [tex]x,y,z,[/tex] удовлетворяват [tex]a^2(a-1)=0 \Leftrightarrow a(a-1)=0[/tex].
Нека например [tex]x=0[/tex]. Тогава [tex]y^4+z^4=3[/tex], но няма 2 числа сред 0 и 1 със сума 3. Значи всички са 1. Проверката показва, че (1,1,1) е решение.