Функционално уравнение

[llssll]

Здравейте!Имам питане за това функционално уравнение.Може ли щом f(x^2)=xf(x) то направо да приемем че f(x^2)=x^2f(1)?И защо?
f(x^2)+f(xy)=f(x)f(y)+yf(x)+xf(x+y)

[Xixibg]

[tex]f(x^2)=xf(x)[/tex]
[tex]=>f(0)=0 ; f(1)=1 ; f(2)=\sqrt{2}f(\sqrt{2}); f(\sqrt{2})=\sqrt[4]{2}f(\sqrt[4]{2})[/tex]
[tex]=>f(2)=2^{\frac{1}{2}}.2^{\frac{1}{4}}. ...... .2^{\frac{1}{2^{n}}}.f(2^{\frac{1}{2^{n}}})\approx 2.f(1)[/tex]

[allier]

Не може ... Нито пък това, което Xixi е писал е вярно. Функцията не е задължително непрекъсната.

[Xixibg]

Между другото не съм споменавал може или не може.
Относно непрекъснатостта си прав.Аз само съм изложил някаква идея .......

[llssll]

За съжаление тази идея ми мина през ума,но не би трябвало да работи.Иначе задачата е от Балтииската олимпиада(нещо като БОМ във Скандинавия).

[Xixibg]

Тя идета работи при непрекъсната функция ама дали е непрекъсната по условие?
А и каква точно е задачата?

[Mechkov]

Специално за случая, когато [tex]f(0)=0[/tex] (иначе ф-цията е [tex]f(x) = 2 - x[/tex]), [tex]f(x) = -x[/tex] си е решение, което е доста непрекъснато и противоречи с написаното от Xixibg. Сега ще я помисля и на хартия .

[Xixibg]

[tex]f(x^2)=x.f(x) , x=0 , f(0)=0[/tex] това е по условие ако е непрекъсната ,за [tex]x=0[/tex]
Примера който си дал [tex]f(x)=2-x ,[/tex] не изпълнява условието [tex]f(x^2)=x.f(x) , x=0 , f(0)=0[/tex]
А иначе имам една техническа грешка при[tex]f(1)=1.f(1)=f(1)[/tex] , така че за [tex]f(x)=-x , =>f(x^2)=-x^2[/tex]
и за предложеното от теб [tex]f(x)=-x , =>f(1)=-1 =>f(x^2)=x^2f(1)=-x^2[/tex]
Продължавам да мисля че при непрекъсната функция тази идея е вярна........

[Mechkov]

[tex]f(x) = 2 - x[/tex] се отнася за първоначалното условие, което е на последния ред от първия пост (в него f(x) = x не бачка). [tex]f(x^2)=xf(x)[/tex] се получава от там, след като се замести [tex]x = y[/tex] и се допусне, че [tex]f(0) = 0[/tex]. Иначе я помислих малко и докарах, че [tex]g(x) = f(x) + x[/tex] е адитивна и мултипликативна, ама не знам колко ми помага това .

P.S. Изкарах, че ф-цията е 2 - x, -x или е от трети вид, за който засега знам само, че над рационалните е 0, но над ирационалните го лапам.

P.P.S. Даже не го лапам над всички ирационални, над тези, които се представят с радикали, пак си е 0.

[mkmarinov]

[tex]g(x) = f(x) + x[/tex] е адитивна

Оттук не следва ли, че f(x) е адитивна?

[Mechkov]

Използвам това, че f(x) е адитивна, за да докажа, че g(x) също е. Просто ми излезе, че g(x) е и адитивна, и мултипликативна, а това е прекалено симпатично, за да му трябват допълнителни условия като непрекъснатост, монотонност, ааа ууу... Ама забих...

Иначе това, че f(x) е адитивна излиза, като в първоначалния вид заместим [tex]f(x^2)[/tex] с [tex]xf(x)[/tex] и го изразим по два начина, които са със сменени x и y и извадим двата получени израза.

От адитивността на f(x), като заместим f(x + y) с f(x) + f(y) и добавим xy от двете страни на получената гадория, излиза мултипликативността на g(x).

[Mechkov]

Апелирам към allier да помогне Няма ли нещо за функции, които са мултипликативни и адитивни, без да има уточнения за непрекъснатост, монотонност, ограниченост, и т.н?

[allier]

[tex]f(xy) = f(x)f(y)+yf(x)+xf(y)[/tex]
[tex]f(x^2) = f(x)f(x) + 2xf(x)[/tex]
[tex]xf(x) = f(x)f(x) + 2xf(x)[/tex]
[tex]f(x)(f(x)+x) = 0[/tex]

[Mechkov]

Добре... Така е доооооста по - симпатично (bow)
Иначе си направих и това за функцията, която е хем мултипликативна, хем адитивна. Ако не е ≡ 0
[tex]g(xy) = g(x)g(y) => g(x^2) = g^2(x) => g(x) > 0 ([/tex]за [tex]x > 0)[/tex]. От адитивността пък излиза, че [tex]g(-x)= -g(x) => g(x) < 0[/tex] за [tex]x < 0[/tex].
Да допуснем, че функцията е прекъсната при нулата => за някое [tex]r<\epsilon (r > 0)[/tex] имаме [tex]g(r) > c[/tex], за някое хубаво рационално [tex]c > \epsilon[/tex] (това, щото [tex]g(0) = 0[/tex]). Сега [tex]g(r - c) = g(r) - g(c) = g(r) - c[/tex], но [tex]r - c < 0 = g(r - c) < 0[/tex], a [tex]g(r) > c[/tex] => противоречие.
Значи функцията е непрекъсната в нулата, от адитивността веднага получаваме, че е непрекъсната навсякъде.

Вариантът на allier е в пъти по - як де... Аз отивам сега да се самобичувам някъде, че балтийска задача ме изпоти толкова