Една задача от НОМ в Турция 2000г.

[drago]

Да се намерят всички непрекъснати функции [tex]f: [0,1] \to [0,1][/tex], за които съществува естествено число [tex]n[/tex], така че: [tex]f^n(x) = x,\, \forall x \in [0,1][/tex].

Тук е означено: [tex]f^n(x) = \underbrace {f(f(...f(x)...)}_{n }[/tex]

[grav]

Няма ли някой да я реши. Очевидните решения са [tex]x[/tex] и [tex]1-x[/tex] за четно [tex]n[/tex] и [tex]x[/tex] за нечетно. Предполагам, че други няма. За [tex]n=3[/tex] мисля, че мога да го докажа, но в общия случай за сега не мога.

[pipi langstrump]

Всъщност по-общо при четни n решения са x и b-x, където b е произволно. Това, заедно с x са и единствените решения, ако функцията е от вида ax + b.

[pipi langstrump]

Лесно може да се докаже и че f не може да е полином от степен по-висока от първа. Например да допуснем, че f е полином от степен k>1. Сега индукция по k.При k = 2 имаме, че старшия коефициент пред [tex]f^n[/tex] e [tex]a _0^{2^n - 1}[/tex], където [tex]a_0[/tex] е старшият коефициент на f и понеже той трябва да е нула, следва, че [tex]a _0 = 0[/tex], т.е. полиномът не може да е от втора степен. Да допуснем, че не може да е от някоя степен [tex]k_0>2[/tex]. По същия начин доказваме, че от това, какво старшият коефициент пред [tex]f^n[/tex] трябва да е нула, следва, че и старшият коефициент пред f също трябва да е нула. Доказахме че полиномът не може да е от степен [tex]k_0 + 1[/tex], което доказва твърдението.

[grav]

Всъщност по-общо при четни n решения са x и b-x, където b е произволно. Това, заедно с x са и единствените решения, ако функцията е от вида ax + b.

Не може да е поризволно. Имаме [tex]0\le f(x)=b-x\le1[/tex] за всяко [tex]0\le x \le 1[/tex], като заместим с 0 и 1 получаваме [tex]0\le b \le 1[/tex] и [tex]1\le b \le2[/tex].

За полиномите е ясно.

[pipi langstrump]

Мерси за поправката...за това значи бил даден тоя интервал

[pipi langstrump]

Добре, ето едно ламерско разсъждение. Функцията не може да е полином от висока степен. Обаче всяка безкрайно диференцируема функция може да се представи като полином от безкрайна степен като се развие в ред. Значи от това (може би) следва че f не може да е безкрайно диференцируема. Обаче тя е, понеже композицията [tex]f^n[/tex] е. Значи няма друга функция

[grav]

Не всяка безкрайно диференцируема фунция може да се развие в степенен ред.

[pipi langstrump]

Мда, вярно. Трябваше остатъчния член да клони към нула. Както и да е, идеята не струва, но това е единственото, което ми дойде на ум.
А има ли примери за безкр. диф. ф-ции, които не могат да се развият в ред?

[grav]

За тези които се развиват в ред е в сила теорема подобна на тази за полиномите. Ако два полинома от степен n приемат еднакви стойности в n+1 точки, то те са равни. За редове, понеже имат безкрайно много коефициенти, ако два съвпадат върху множество което има точка на сгъстяване, те съвпадат. Ако вземеш безкрайно диференцируема функция която е нула в някакъв интеревал, тогава ако се развива в ред ще е тъждествено нула. А не нулеви такива има много.

[pipi langstrump]

Добре, но това показва само, че има безкр. диф. ф-ции, които нямат едни и същи развития в ред във всички точки. Моят въпрос беше по-скоро дали има безкр. диф. ф-ция, която да не може да се развие в ред в нито една точка или поне в някоя точка.

[drago]

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=434184

[grav]

pipi, вземи фунцкия която е тъждественно нула в [0,1/2] и различна от нула в (1/2,1], около 1/2 не можеш да я развиеш.

[grav]

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=38&t=434184

Предполагам, че това си ти. Добро решение, аз нямаше да мога да го намеря. Добре, че го даде, та да не се блъскам излишно.

[drago]

Задачата е давана на НОМ. Според мен е по-трудна от това ниво. В реално време (в условия на съзтезание) не бих я направил.
В artofproblemsolving.com се появи серия от хубави турски задачи давани на техни съзтезания. Нищо чудно, при това вдигане на летвата, че през последните години на IMO се класират 4-6 място.

[pipi langstrump]

pipi, вземи фунцкия която е тъждественно нула в [0,1/2] и различна от нула в (1/2,1], около 1/2 не можеш да я развиеш.

Защо да не може? Нали функцията по условие е безкрайно диференцируема навсякъде? Това значи, че левите и десните производни от всеки ред в точката 1/2 ще са равни.

[drago]

Да, точно така, производните от произволен ред в точката 1/2 са равни на 0, така че реда на Тейлор съвпада с 0, но функцията не е 0.
Виж например за по-подрбно: http://en.wikipedia.org/wiki/Non-analyt ... h_function

[pipi langstrump]

Функцията си има развитие в ред във всяка една точка. Че коефициентите в развитието не се получават по едно и също правилот, т.е., че функцията не е аналитична е ясно, но това каква връзка има с въпроса?

[grav]

Задачата е давана на НОМ. Според мен е по-трудна от това ниво. В реално време (в условия на съзтезание) не бих я направил.
В artofproblemsolving.com се появи серия от хубави турски задачи давани на техни съзтезания. Нищо чудно, при това вдигане на летвата, че през последните години на IMO се класират 4-6 място.

Аз очаквах да е по-лесна именно защото е била давана там. Явно съм ги подценил турците.

[grav]

Функцията си има развитие в ред във всяка една точка. Че коефициентите в развитието не се получават по едно и също правилот, т.е., че функцията не е аналитична е ясно, но това каква връзка има с въпроса?

Примера по горе показва, че няма развитие в точката 1/2. Няма степенен ред, който да съвпада с функцията в околкост на 1/2.

[pipi langstrump]

Да, но в лява и в дясна околност има. Ще имаме f = ∑0x^n за x≤1/2 и f = ∑c_nx^n за x>1/2т.е. функцията може да се представи като безкраен полином за всяка точка, а това и беше целта . Разбира се, че функцията не може да се развие в симетрична околност около проблемната точка, но това не ни и трябва.

[grav]

Да, но в лява и в дясна околност има. Ще имаме f = ∑0x^n за x≤1/2 и f = ∑c_nx^n за x>1/2т.е. функцията може да се представи като безкраен полином за всяка точка, а това и беше целта . Разбира се, че функцията не може да се развие в симетрична околност около проблемната точка, но това не ни и трябва.

По тая логика не е нужно да е диференцируема, нито непрекъсната. Вземи си функция която се прекъсва в дадена точка, например стапаловидна, тогава от ляво се развива в ред и от дясно също.