Стереометричен шедьовър

[ganka simeonova]

Основата на пирамидата [tex]ABCDM[/tex] е изпъкналият четириъгълник[tex]ABCD[/tex], диагоналът [tex]BD[/tex] на който го разделя на два равнолицеви триъгълника. Обемът на пирамидата е [tex]\frac{1}{ 6}[/tex], [tex]AB=1; BC=CD; AM+DM=\sqrt{2}[/tex] Намерете радиуса на вписаната в пирамидата сфера.

[ganka simeonova]

Никой ли не иска да се пробва на тази задача?

[kerry]

Снощи отделих един час за търсене на пълната околна повърхнина. Но после открих някаква по-лесна задача и забравих за тази.

[ins-]

Скрит текст: покажи

Аз нямах време - напоследък програмата ми е много натоварена. От къде е задачата? Прилича ми на кандидат-студентска задача. На пръв поглед изглежда лесна и човек е склонен да я пренебрегне, но като тръгне да решава и става интересно. Ако остане малко време може да се опитам да я реша. Друга причина, поради която не я пробвах е, че има много ученици, за които би могла да е полезна и вярвах, че ще я решат. По принцип - обичам стереометрията и знам доста добри задачи ето и една примерна /решена/: http://voducdien.wordpress.com/2011/10/ ... -solution/ . Извинявам се, че е малко на английски.

[Xixibg]

Според мен си е за олимпиада.Симеонова сподели че е Руска задачата.

[kerry]

А според мен ако [tex]AM + DM = \sqrt{2}[/tex] обемът на пирамидата ще е по-малък от [tex]\frac{1}{6}[/tex].

Предполагам, че [tex]AM + DM = \sqrt{3}[/tex] (най-малката възможна стойност).

Тогава радиуса на вписаната сфера е [tex]r=\frac{\sqrt{2}-1}{2}[/tex]

[ganka simeonova]

А според мен ако [tex]AM + DM = \sqrt{2}[/tex] обемът на пирамидата ще е по-малък от [tex]\frac{1}{6}[/tex].

Предполагам, че [tex]AM + DM = \sqrt{3}[/tex] (най-малката възможна стойност).

Тогава радиуса на вписаната сфера е [tex]r=\frac{\sqrt{2}-1}{2}[/tex]

Не е вярно. Докажете, че основата е е квадрат и че равнината (ADM) е перпендикулярна на основата.

[kerry]

Вярно.

А аз незнайно защо реших, че пирамидата е правилна и т.М се проектира в центъра на основата.

[ins-]

Задачата наистина ми се струва добра. Ако някой я е решил - ще е хубаво да пусне решение - би било полезно да се види.

[ganka simeonova]

Да означим височината към стената [tex](ADM)[/tex] с [tex]h[/tex],a [tex]S_{ADM}=S[/tex]
Тогава [tex]V_{ADBM}=\frac{1}{12}=\frac{1}{ 3}h.S=>h.S=\frac{1}{ 4}[/tex]. От правоъгълния [tex]\Delta AOB; AB=1=>OB=h\le 1[/tex]-равенство ще има, само когато [tex]O\equiv A[/tex]. От друга страна [tex]S=\frac{1}{2 } AM.DM.sin\varphi \le \frac{1}{ 2} AM.DM[/tex]- равенство ще има, ако ъгъл фи е прав.
=>[tex]\frac{1}{ 4} =h.S\le 1.\frac{1}{2 } .AM.DM.sin\varphi \le \frac{1}{2 } .1.AM.DM.1=\frac{1}{2 } AM.DM[/tex]
=>[tex]AM.DM\ge \frac{1}{ 2}[/tex](*)
Но, по условие[tex]AM+DM=\sqrt{2} =>\sqrt{2} \ge 2\sqrt{AM.DM}=>AM.DM\le\frac{1}{ 2}[/tex](**)
От (*) и (**) =>[tex]AM.DM=\frac{1}{ 2}[/tex]=>всички неравенства, които се породиха са всъщност равенства=>
[tex]h=1(O\equiv A); \varphi =90^\circ ;AM=DM=\frac{\sqrt{2} }{2 }\Delta ADM[/tex]=>прав. равнобедрен с хипотенуза 1.
[tex](ADM)\bot (ABCD)[/tex]

Сега, да се насочим към основата. От условията на задачата и доказаното=>[tex]\Delta ABD, \Delta BDC[/tex]-равнолицеви и равнобедрени=>имат равни височини към общата си страна, които ще мината през средата F на DB.[tex]DB\equiv S_{AC}=>AD=DC; AB=BC=>ABCD-[/tex]-квадрат. После намирането на радиуса е тривиално.

[georgi111]

Аз стигам до същите изводи но по друг начин и го казах на бате Боби в разговор като обсъждахме тази задача доказвам по малко по друг начин че върха се проектира в петата на височината към основата в равнобедрения триъгълник BCD (ползват се и ъглополовящи равнини) но се стига до същия извод който е казала Ганка. Като имам време ще го напиша

[ganka simeonova]

На мен лично тази задачка много ми харесва..

[ins-]

Малко е странна и вероятно, ако я видя заедно с повече задачи някъде едва ли бих ѝ обърнал внимание, но като видях и решението е хубава наистина. Благодаря за решението!