Задачи за подготовка

[inveidar]

zada4i_podgotovka_3.JPG (242.9 KiB) Прегледано 831 пъти

[ganka simeonova]

От сряда до петък си е доста време. Ще напиша решението си по 1 зад. Дано е вярно

Да разложим лявата страна на множители. Тогава:

[tex](x+2)(x^2+6x+1+a)=0[/tex] Ясно е, че тогава у-то има със сигурност един корен -2. Тогава трябва
[tex]x^2+6x+1+a=0[/tex] да има два неравни корена, различни от -2.
1) [tex]D>0=>a<8[/tex]
2) Да проверим обаче, какво ще се случи с а, ако квадратното у-е има корен -2.

=>[tex]a=7[/tex]- значи това не е търсената стойност, защото при нея у-то ще има един единичен и един двукратен корен -2=> [tex]a=6[/tex]

[inveidar]

но тази е само за загрявка.

[ganka simeonova]

по 4 зад) Отг. дали е 19? Би ли казал, дали е така? Ако да- да пиша решение, ако не- да мисля пак:)

[ganka simeonova]

4 зад) Ще го напиша, че дори пак да избухне пожар:)

Да означим координатите на една произволна точка А от първата графика с [tex]A( a; a^2-2a)[/tex], а на точка от втората графика с [tex]B(b; -b^2+4b-51)[/tex]
Тогава [tex]AB^2=(a-b)^2+((a-1)^2+(b-7)^2+1)^2[/tex]
В тази сума от два квадрата, само първият може да става 0=> сумата ще е най- малка, ако първият е 0.Това е възможно, при [tex]a=b[/tex]=>
[tex]AB^2\ge ((a-1)^2+(a-7)^2+1)^2=(2((a-4)^2+9)+1)^2\ge 19^2[/tex] Равенство за [tex]a=b=4[/tex]

Тогава точките от двете графики са съответно: [tex]A(4; 8); B(4; -11)[/tex], които даже се явяват точките, в които допирателните към двете графики са успоредни.

[mkmarinov]

Не съм съгласен.
[tex](x-1)^2+(x-3)^2[/tex] приема най-малката си стойност когато и двата квадрата са ненулеви.

[ganka simeonova]

Не съм съгласен.
[tex](x-1)^2+(x-3)^2[/tex] приема най-малката си стойност когато и двата квадрата са ненулеви.

ОК, аз не казвам, че решението ми е вярно. Но цитираният пример от теб не е сходен с решението ми, защото в твоя пример и двата ти квадрата могат да стават 0.
Ако имаш идея по задачата, дай я.

[inveidar]

Верният отговор е 5.

[ganka simeonova]

Верният отговор е 5.

10х:)

[ptj]

За 4-та задача:

Ако вземем една произволна точка от първата графика, а друга от втората я местим най-малкото растояние ще се получи когато отсечката, която ги свързва е перпендикулярна на допирателната към графиката във втората точка. Тогава (принцип на непрекъснатост) ако движим и първата точка, най-късото разстояние ще се получи когато въпросната отсечка е перпендикулярна на двете допирателни, а те са успоредни помежду си.



П.П.Съществено е, че при криви от втора степен допирателните в произволна точка не пресичат самите криви.

П.ПП. Това че, се търси целочислена стойност е просто уловка. Ако намереното произволно решение не е цяло, ще трябва да вземем първото естесвено, което го превъзхожда.

[mkmarinov]

Но цитираният пример от теб не е сходен с решението ми, защото в твоя пример и двата ти квадрата могат да стават 0.
Ако имаш идея по задачата, дай я.

Могат, но идеята е, че двата квадрата са свързани.
Иначе, идеята ptj я каза - минималното разстояние е за общата на двете параболи нормала. Това решава задачата детерминистично. За хитрини не съм мислил.

[ganka simeonova]

Аз също си мислих за успоредните допирателни, даже си ги начертах, но не знам защо, избягах от идеята. Наистина е добре, да потърсим разстоянието м/у двете успоредни допирателни.

[ptj]

2-ра:
[tex]a^{2x^3-5ax^2}.9^{2+a}\ge 3^{2x-3a+4}[/tex]

[tex]3^{\lg_3a.(2x^3-5ax^2)}.3^{\left(4+2a-(2x-3a+4)\right)}\ge 1[/tex]

[tex]3^{\lg_3a.x^2(2x-5a)}.3^{5a-2x}\ge 1[/tex]

[tex](\lg_3a. x^2-1)(2x-5)\ge 0[/tex]

По-нататък се разглеждат 3 случая според знака на [tex]\lg_3a[/tex] и съответно неравенството има 1 или 3 интервала за решение. Последната част с броя на двуцифрените числа изисква само малко съобразителност.

[ganka simeonova]

2-ра:
[tex]a^{2x^3-5ax^2}.9^{2+a}\ge 3^{2x-3a+4}[/tex]

[tex]3^{\lg_3a.(2x^3-5ax^2)}.3^{\left(4+2a-(2x-3a+4)\right)}\ge 1[/tex]

Защо вторият ред не ми харесва? По- скоро първият множител.

[ptj]

Специално гледах 4-ри значната таблица преди да пиша. Там е записано:

[tex]a^{\lg_aN}=N[/tex]

В задачата съм го приложил като [tex]3^{\lg_3a}=a[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

Специално гледах 4-ри значната таблица преди да пиша. Там е записано:

[tex]a^{\lg_aN}=N[/tex]

В задачата съм го приложил като [tex]3^{\lg_3a}=a[/tex]

Става въпрос за това,че имаш а на някаква си степен и ти си умножил а с тази степен.
Имаш [tex]a^k[/tex] и трябва да стане [tex]3^{log_3a^k}[/tex],а ти си написал [tex]3^{log_3ak}[/tex]

[ptj]

Някои май трябва да си припомнят ученото в 8-ми клас.
[tex]a^{2x^3-5ax^2}=(3^{lg_3a})^{2x3-5ax^2}=3^{lg_3a.(2x^3-5ax^2)[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

Някои май трябва да си припомнят ученото в 8-ми клас.
[tex]a^{2x^3-5ax^2}=(3^{lg_3a})^{2x3-5ax^2}=3^{lg_3a.(2x^3-5ax^2)[/tex]

Мисълта ми беше,че [tex]log_a{k^p}=plog_a{k}[/tex] В последствие видях,че си използвал това свойство просто си го записал това p от дясно на логаритъма и изглежда така все 1 си написал друго нещо .
[tex]a^{2x^3-5ax^2}=(3^{lg_3a})^{2x3-5ax^2}=3^{(2x^3-5ax^2)lg_3a}.[/tex] Изглежда по-добре и по-разбираемо (според мен) .
П.П. Така както си го написал изглежда така [tex]log_3{3^3}=log_3{3.3}=log_3{9}=2[/tex],което не е вярно,а трябва да е [tex]log_3{3^3}=3.log_3{3}=3[/tex]
И последният ред трябва да е [tex](x^2.\lg_3a -1)(2x-5)\ge 0[/tex]

[inveidar]

За хитрини не съм мислил.

А би трябвало, защото иначе задачата става ужасна!

[ganka simeonova]

inveidar, нали ще оставиш малко време?

[mkmarinov]

За да са успоредни допирателните, трябва [tex]a+b=8[/tex] (приравняваме производните на двете квадратни функции спрямо a и b). Т.е. изразът за квадрата на дължината става [tex](2a-8)^2+(2(a-1)^2+1)^2[/tex]
Полагаме [tex]a-1=t[/tex] и разкриваме скобите, изразът става
[tex]4t^4+8t^2-24t+37[/tex]. Производната е строго растяща и има корен между 0 и 1 (в който задължително има глобален минимум), откъдето минималната цяла стойност (тук предполагам, че за да има цяла стойност полинома, трябва и t да е цяло - трябва да се докаже) е или в t=0 или t=1. Измежду двете t=1 е по-малка и стойността е точно 25, достига се в [tex]a=2, b=6[/tex]

[inveidar]

Чакам решението на третата задача!!!

[alexander_ivanov]

3. 104?

[Xixibg]

[tex]17\le a^2+d^2\le36[/tex]
Би трябвало да е:
[tex]S_{36}-S{16}=\frac{36.37}{2}-\frac{16.17}{2}=530[/tex]

[Xixibg]

Идеята е следната:

[tex]\begin{tabular}{|l}9\le a+2d\\a\in [0;1] \end{tabular} ; =>d\ge 4 ;[/tex]

[tex]=>d^2\ge16[/tex]
За [tex]d=4 =>a>0; =>a^2>0 (a+2d\ge9)[/tex]
[tex]=>d^2+a^2>16[/tex]
[tex]a=1 ; d=4 => a^2+d^2=17[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}6\ge a+d\\a\in [0;1] \end{tabular} ; =>d\le 6 ;[/tex]

[tex]=>d^2\le36[/tex]
За [tex]d=6 =>a=0; (a+2d\le12)[/tex]
[tex]=>d^2+a^2\le36[/tex]
[tex]a=0 ; d=6 => a^2+d^2=36[/tex]

Остава да намерим двойки числа [tex]a,d[/tex],за които [tex]a^2+d^2[/tex] са целите числа между 17 и 36

[tex]a=1 ; d=4 => a^2+d^2=17[/tex]
[tex]a^2+d^2=18 ; a=1 , d=\sqrt{17}[/tex]
[tex]a^2+d^2=19 ; a=1 , d=\sqrt{18}[/tex]
[tex].....................................[/tex]
[tex]a^2+d^2=34 ; a=0 , d=\sqrt{34}[/tex]
[tex]a^2+d^2=35 ; a=0 , d=\sqrt{35}[/tex]
[tex]a^2+d^2=36 ; a=0 , d=6[/tex]

[tex]S_{36}-S_{16}=530[/tex]