perfect square

[man111]

find all Integer value of [tex]a,b[/tex] and [tex]c[/tex] such that [tex]ab+c,\;bc+a[/tex]

and [tex]ca+b[/tex] all are perfect square

[martin123456]

[tex]ab+c=x^2[/tex], [tex]bc+a=y^2[/tex], [tex]ca+b=z^2[/tex]
[tex]c=x^2-ab[/tex], [tex]b(x^2-ab)+a=y^2[/tex], [tex]a(x^2-ab)+b=z^2[/tex]
[tex]ab(x^2-ab)+a^2=y^2a[/tex], [tex]ab(x^2-ab)+b^2=z^2b[/tex]
[tex]z^2b-b^2=y^2a-a^2[/tex]
[tex]b(z^2-b)=a(y^2-a)[/tex]
[tex]b.\frac{z^2-b}{a}=a.\frac{y^2-a}{b}[/tex]
The fractions are integeres from the previous equations. If [tex]a^2|(z^2-b)[/tex] then [tex]a|x^2[/tex] and so [tex]a|c[/tex]. Otherwise [tex]a|b[/tex].
So now lets assume [tex]a\ge b \ge c[/tex]. So [tex]a[/tex] is either equal to [tex]b[/tex] or equal to [tex]c[/tex].
1. [tex]a=b[/tex]: then [tex]z=\pm y[/tex] then [tex]a^2+c=x^2[/tex]. The system of equations is
[tex]a^2+c=x^2[/tex], [tex]ac+a=y^2[/tex]. So [tex]a(x^2-a^2+1)=y^2[/tex]. If [tex]gcd(a,x^2-a+1)\ne 1[/tex] then [tex]a|(x^2+1)[/tex] and so [tex]a|(c+1)[/tex] so [tex]a=c+1[/tex]. So [tex]a^2+a-1=x^2[/tex]. Thne [tex]4a^2+4a-4=4x^2[/tex], so [tex](2a+1)^2-5=4x^2[/tex] and so [tex](2a+1+2x)(2a+1-2x)=5[/tex]. We get a system of equations. Clearly, the fisrt multiple is bigger than the second one (assuming x is positive, which is ok) so [tex]2a+1+2x=5[/tex], [tex]2a+1-2x=1[/tex] is the first option, we get [tex]2a+1=3[/tex], so [tex]a=1[/tex] Then [tex]b=1, c=0[/tex]. So [tex](1,1,0)[/tex] is a solution. The second option is [tex]2a+1+2x=-1[/tex], [tex]2a+1-2x=-5[/tex], so [tex]2a+1=-3[/tex], [tex]a=-2[/tex], [tex]b=-2[/tex], [tex]c=-3[/tex]. So [tex](-2,-2,-3)[/tex] is a solution.
2. [tex]a=c[/tex] then [tex]a=b=c[/tex] then [tex]3a^2=x^2[/tex] which has no nonzero solutions, so [tex](0,0,0)[/tex] is one solution.
NB: my solution is not complete since i have not tooak into consideration the negative options. When i wrote [tex]a|(c+1)[/tex] and assumes [tex]a \ge c[/tex] i concluded [tex]a=c+1[/tex]. But the other options are trivial. And the 2nd solution is not a solution after a check
NB2: i have forgotten the other case: [tex]gcd(a,x^2-a+1)=1[/tex].

[drago]

...
[tex]b(z^2-b)=a(y^2-a)[/tex]
[tex]b.\frac{z^2-b}{a}=a.\frac{y^2-a}{b}[/tex] !!! why
The fractions are integeres from the previous equations. If [tex]a^2|(z^2-b)[/tex] then [tex]a|x^2[/tex] and so [tex]a|c[/tex]. Otherwise [tex]a|b[/tex].
...

Първото маркирано не е вярно, а по второто - може да се разсъждава така само ако [tex]a[/tex] е просто!

[martin123456]

да не е вярно първото маркирано

[martin123456]

просто не ми се решават задачи вече
тъпо е
тъпа идентификация е математиката, няма нищо човешко
аре ако ми платите ще я реша

[drago]

Не исках да те засягам, приятелю, ако аз съм повода за тези тъжни мисли.

[martin123456]

Извинявай,
не си ти повода, но това което казвам е така. И не ме засягаш, радвам се на хора като теб, а също и на себе си. Обяснявам обаче защо аз не мога да съм такъв вече.

[ins-]

Тези мисли вероятно идват от тежко програмиране, къси срокове и стиснати шефове ...

[strangerforever]

Тези мисли вероятно идват от тежко програмиране, къси срокове и стиснати шефове ...

Личен опит?

[martin123456]

Математика, хах, е само защита за мен. Начин да достигна висоти на мисловната си дейност, прецизност, която липсваше на воделейската ми същност. Но се оказа, че не не ми стига. А за вас, математици, които имате друга полза от математиката, ви желая успех.

[ins-]

Отчасти.

[grav]

Математиката не е само решаване на олимпииски задачи. Даже, макар и да звучи малко крайно, е нещо съвсем различно.

[inveidar]

Математика, хах, е само защита за мен. Начин да достигна висоти на мисловната си дейност, прецизност, която липсваше на воделейската ми същност. Но се оказа, че не не ми стига. А за вас, математици, които имате друга полза от математиката, ви желая успех.

Мартине, пак ли пиеш? Вземи си намери и друго хоби. Примерно риболов, гледане на фантастични филми и четене на фантастична литература. А в краен случай може и да се ожениш!!!

[ins-]

Който се е оженил - не е прокопсал - за омъжените - не знам