TST Турция 1996, Граници на редици.

[drago]

Намерете всички наредени двойки положителни реални числа [tex](a,b)[/tex], такива че: за всяка редица [tex]\{x_n\}[/tex], от това че тя удовлетворява условието [tex]lim_{n \to \infty}{(ax_{n+1}-bx_n)} =0[/tex] следва [tex]lim_{x \to \infty}{x_n} =0[/tex].

[ptj]

Едното решение е когато едно от двете числа е 0.
Когато са различни извършвайки граничен преход (при съществуването на [tex]\lim_{n\to \infty}{x_n}[/tex]) получаваме [tex](a-b)\lim_{n\to \infty}{x_n}=0[/tex]. То ще даде решение на задачата само когато [tex]a\ne b[/tex].

[pipi langstrump]

Всъщност няма нужда да разглеждаме отделно случая, когато едно от числата е нула, а другото - не, защото той се включва в условието a≠b, ако някое от двете е нула. Пък и на всичкото отгоре условието иска а и b да са положителни

[Baronov]

Нека [tex]r=\frac{b}{a}[/tex]. Тогава [tex]\lim x_{n+1}-rx_n=0[/tex]. Ако [tex]r\geq 1[/tex], то редицата [tex]x_n=r^n[/tex] удовлетворява условието, но не клони към нула.

Нека сега [tex]r<1[/tex]. Фиксираме [tex]\epsilon>0[/tex]. За достатъчно големи N, [tex]|x_{n+1}|<r|x_n|+(1-r)\epsilon/2[/tex] за всички [tex]n>N[/tex]. За фиксирано такова n имаме [tex]|x_{n+k}|\leq r^k|x_n|+\epsilon(1+r+r^2\dots r^k)=r^k|x_n| + \frac{\epsilon(1-r^k)}{1-r}[/tex]. При големи k и малки [tex]\epsilon[/tex] и двете събираеми могат да се направят произволно малки, т.е. дадената редица клони към 0. Използваме, че [tex]r^n\rightarrow 0[/tex] за [tex]r<1[/tex].

т.е. всички решения са [tex]0<r<1[/tex]. Като се върнем в термините на първоначалната задача получаваме, че всички решения са [tex]a>b>0[/tex].

[drago]

Да...браво, изпуснал си малко случаи, но това са подробности. Примерно [tex]a=0,\, b \neq 0; b=0, a \neq 0[/tex].

В условието е излишно и би могло да се изпусне, че [tex]a, b[/tex] са положителни, но аз съм се придържал към оригиналната формулировка. В общи линии задачата е повече за техника отколкото идейна, за разлика от другата турска задача- viewtopic.php?f=10&t=7519

Можете да видете и моето решение тук: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=433855