Интересно неравенство

[drago]

Дадени са числата [tex]\, p_i, q_i \in \mathbb{N}, \, i=1,2,\dots,n[/tex], такива, че [tex]\frac{p_i}{q_i}[/tex] са [tex]n[/tex]различни едно от друго рационални числа. Да се докаже, че:

[tex]\left ( \sum_{i=1}^n p_i \right) \left ( \sum_{i=1}^n q_i \right) > c n^3[/tex]

където [tex]c[/tex] е константа независеща от [tex]n[/tex].

[mkmarinov]

Не мога да разбера условието точно. Да не би да искаш да кажеш, че лявата страна трябва да е асимптотично по-голяма от [tex]n^3[/tex] ?

[drago]

Ами да, точно това. Тъй като не е интересно, чак толкова, точно колко е [tex]c[/tex] затова не съм я уточнил.
За да няма двусмислици нека сложим в горното неравенство [tex]c= \frac{1}{10}[/tex].

[drago]

Неравенство N 2.
Дадени са [tex]n[/tex] различни точки в равнината [tex]P^{(i)},\, i=1,2,\dots,n[/tex], чието координати [tex]P_x^{(i)}, \, P_y^{(i)}[/tex] са естествени числа.
Докажете, че:

[tex]\left( \sum_{i=1}^n P_x^{(i)} \right) \left( \sum_{i=1}^n P_y^{(i)} \right) \ge \frac{n^3}{32}[/tex].

[drago]

Така..., откъде започна всичко. В artofproblemsolving.com видях следната задача, която ме заинтересува.
Имате един изпъкнал [tex]n[/tex]- ъгълник, чието върхове са с целочислени координати. Трябва да се докаже, че лицето му не може да е много малко, по-точно лицето е по-голямо от някаква константа по [tex]n^3[/tex]. Първо имах съмнения, че това е вярно, тъй като, ако махнете условието за изпъкналост долната граница на лицето е от порядъка на [tex]n[/tex], a като е изпъкнал порядъка веднага скача на [tex]n^3[/tex]. Всъщност в това има логика.
После сравнително бързо го доказах за порядък [tex]n^2[/tex] и после всичко забоксува.
Нещата се свеждат до второто неравенство по-горе, но дълго време ми убягваше решението.
По-долу е препратката, който иска може да види подробностите.
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 2&t=440522