Задачка от ЕМТ '11

[strangerforever]

Ако p е просто число, да се докаже, че:

[tex]p^3 | (2^{p-2} - 1)^p(2^p - 1) - 2^{p(p-2)} + 1[/tex]

[drago]

Да положим [tex]u=2^{p-1} -1[/tex] и да трансформираме нещата. След това използвай, че [tex]p / u[/tex].

[drago]

Нека с [tex]A[/tex] означим израза, за който трябва да установим, че се дели на [tex]p^3[/tex].
Полагаме [tex]u=2^{p-1}-1[/tex]. След трансформиране се получава:

[tex]2^p A = (u-1)^p(2u+1) - (u+1)^p +2(u+1)[/tex]

нека дясната страна я означим с [tex]B[/tex]. Трябва да докажем, че [tex]p^3 / B[/tex], като използваме ,че [tex]p / u[/tex].

[tex]B = (....)u^3 + (C^2_p u^2(-1)^{p-2} +pu(-1)^{p-1} -1)(2u+1) - (C^2_p u ^2 + pu +1) +2(u+1)[/tex]

[tex]B= (...)u^3 + 2pu^2 - 2C^2_p u^2[/tex]

и тъй като [tex]p / u[/tex] и [tex]p /C^2_p \, \Rightarrow p^3 / B \, \Rightarrow p^3 / A[/tex].