Построителна задача

[ins-]

Да се построи четириъгълник по дадени големини на ъглите и дължини на диагоналите.

[alexander_ivanov]

да не би да се решава със синусова?

[ptj]

Ako 4-ка е [tex]ABCD[/tex].
Анализ:

Разглеждаме успоредника [tex]BPQD[/tex], като [tex]BP\parallel AC[/tex], а т.[tex]C[/tex]е вътрешна за него. Ако свържем т.[tex]C[/tex] с върховете на [tex]BPQD[/tex] ще получим 4 ъгъла (при т.[tex]C[/tex]) равни на дадените.

Би трябвало това да е началото...

[ins-]

Защо ъглите при C са равни на дадените?

Скрит текст: покажи

Единствените неща, които знам за тази задача са, че е решима и че е използвана за дискриминация на еврейски студенти в руските университети по времето на комунизма.

[inveidar]

Ako 4-ка е [tex]ABCD[/tex].
Анализ:

Разглеждаме успоредника [tex]BPQD[/tex], като [tex]BP\parallel AC[/tex], а т.[tex]C[/tex]е вътрешна за него. Ако свържем т.[tex]C[/tex] с върховете на [tex]BPQD[/tex] ще получим 4 ъгъла (при т.[tex]C[/tex]) равни на дадените.

Би трябвало това да е началото...

И [tex]BP=AC[/tex], нали? Това наистина решава задачата.

[ptj]

Да. Забравих тази подробност. Колкото до ъглите, единия си я същия, а 2 от другите са вътрешно кръстни при успоредни прави. Все пак това не решава задачата.

[inveidar]

Ако знаем кои от ъглите лежат срещу съответните диагонали, няма проблем. Ако не знаем това, проблемът е, че можем да опитаме да построим по 12 начина въпросния успоредник DBPQ и при един от тези случаи той трябва да се получи, но няма да можем да кажем кой е той, защото нямаме критерий за установяване кога три построени прави се пресичат в една точка или пък кога две построени прави са успоредни. Може би Инс ще ни каже дали условието е точно такова, или ще ни даде линк към задачата?

[ins-]

"Construct a quadrilateral using a ruler and a compass if you are given its angles and diagonals." това е оригиналното условие.
Някой може ли да опише как се построява успоредник с посочените свойства?

[inveidar]

Даааа, май не е толкова лесно, колкото си мислех!!! И все пак - може ли линк?

[grav]

Даааа, май не е толкова лесно, колкото си мислех!!! И все пак - може ли линк?

http://www.tanyakhovanova.com/Coffins/coffinsmain.html

Zadacha 16.

[ins-]

Точно това е линка. Щях да го пусна малко по-късно. Там, както и на много други места има красиви задачи, които си струва да се видят (и решат). Ако се опитаме да построим успоредника - няма ли да са полезни ротация/тригонометрия?

[drago]

Нека [tex]ABCD[/tex] е търсения четериъгълник. Нека [tex]AD \cap BC = O[/tex].
Ще фиксираме [tex]\angle DOC[/tex] и точките [tex]D,\, C[/tex] съответно в/у едното и другото му рамо и ще мърдаме точките [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex], така че [tex]AB[/tex] да остава успоредна на себе си и [tex]A, B[/tex] да лежат в/у едното и другото рамо на [tex]\angle DOC[/tex]. Трябва да намерим такива точки [tex]A,B[/tex] така че [tex]\frac{BD}{AC} = \frac{d_1}{d_2}=k[/tex] , където [tex]d_1, d_2[/tex] са диагоналите на четериъг. Ако направим това следва една хомотетия с център [tex]O[/tex], която ще оправи всичко.
Нека [tex]D_1\in OB,\, DD_1\parallel AB[/tex]. Сега да "прехвърлим" точките [tex]D, B, D_1[/tex] всяка в/у срещуположното рамо на ъгъла в точки: [tex]D^', B^', D_1^'[/tex] , така, че: [tex]OD=OD^', OB=OB^', OD_1=OD_1^'[/tex]. Имаме:
[tex]B^'D^'=kAC,\, OB^'=OB=tOD_1,\, OA=tOD[/tex]. Ще променяме [tex]t[/tex].

[tex]\vec{D^'B^'}= \vec{OB^'} - \vec{OD^'} = t\vec{OD_1^'}- \vec{OD^'}[/tex]
[tex]\vec{CA}= \vec{OA}-\vec{OC} = t\vec{OD} -\vec{OC}[/tex]

[tex]|\vec{D^'B^'}| = k |\vec{CA}| \Rightarrow |t\vec{OD_1^'} - \vec{OD^'}| = |t k \vec{OD} - k\vec{OC}|[/tex]

Или
[tex]|t \vec{a} - \vec{b}| = |t \vec{a_1} - \vec{b_1}|[/tex]
където всичко с изключение на [tex]t[/tex] е известно. Полагаме [tex]\vec{u}=t\vec{a_1} - \vec{b_1}[/tex]. [tex]u[/tex] се променя в/у някаква права(построима) успоредна на [tex]OA[/tex].

Kато разпишем малко получаваме, че трябва да намерим(построим) такова [tex]\vec{u}[/tex], където началото на [tex]\vec{u}[/tex] е в [tex]O[/tex], края му е в/у някаква построена права така че:

[tex]|k_1 \vec{u} + \vec{c}| = |\vec{u}|[/tex]. където [tex]u[/tex] се променя върху построима права, [tex]k_1[/tex] e известна пропорция, а [tex]\vec{c}[/tex]- известен вектор.

Построението е малко обратно:

Фиксираме вектора [tex]\vec{c}[/tex] (kато отсечка [tex]C_1C_2[/tex]) Построяваме множеството от точки, [tex]X[/tex]такива че [tex]C_1X = k_1C_2X[/tex]- това е една окръжност, след това наместваме [tex]O[/tex] с една транслация определена от правата [tex]k_1 \vec{u}[/tex], (това е права, когато [tex]\vec{u}[/tex] се променя и [tex]C_1[/tex] лежи в/у нея), така че да дойде в/у тази окръжност.

[ins-]

Не съм много напред с векторите, но от едни техни приложения, направени от inveidar и това решение стигам до извода, че могат да са доста полезни.

Въпросите ми са - колко такива четириъгълника съществуват и какви са условията за съществуването им, а също така - може ли да се реши задачата без използване на вектори само с материал, изучаван в общообразователно училище?

[drago]

Използването на вектори тук е горе долу на ниво дефиниции. За формализиране и по кратко записване на операциите разтягане (хомотетия) и транслация, а също и да не му загубим дирята и да се върнем накрая назад.

Колкото до броя на решенията и условия за съществуване, мога йезуитски да кажа - каквото дойде от построението. Може да няма, може да има едно или 2. При положение, че е известно кой диагонал срещу кой ъгъл стои, от конструкцията е ясно, че повече от 2 решения не би следвало да има.
Какво да ти кажа, не ми са интересни всички тези задълбавания нататък. Интересно ми беше да се направи конструкцията, водеща до построението.

[ins-]

Дано всичко да е коректно. Благодаря за положените усилия. Когато съм в по-добра кондиция ще се опитам да го осмисля.

[drago]

Надявам се да е коректно, но за това съм го и написал, ако има някакви неясноти да се коментират.
Честно казано сигурно има и по елегантно решение, защото конструкцията е малко дълга и е на базата: това се свежда до това, това до това и т.н. Обаче съм на принципа: по хубаво някакво решение отколкото липса на такова.

[ins-]

Решението не ми е ясно на няколко места и затова ще питам бавно, но сигурно, докато го разбера.

Трябва да намерим такива точки [tex]A,B[/tex] така че [tex]\frac{BD}{AC} = \frac{d_1}{d_2}=k[/tex] , където [tex]d_1, d_2[/tex] са диагоналите на четериъг.

Защо трябва да е в сила тази пропорция? И как може да си гарантираме, че винаги е в сила?

[drago]

OK най-накрая някой да попита нещо, иначе ще остана с впечатлението, че обяснявам хубаво, пък знам, че не е много така
Задай си въпроса: как могат да се генерират всички четериъгълници по зададени 4 ъгли (като знаем кой ъгъл къде е). Като местим АB и CD по фиксирания ъгъл, така че да остават успоредни на себе си (по-точно на 2 фиксирани прави). Другия начин е да фиксираме и CD и да местим само AB, като после прилагаме всевъзможни хомотетии с център т.О.
Това означава, че ако нашия четериъгълник е построим, то задължително при местенето на А и B ще има положение, в което [tex]\frac{BD}{AC}[/tex] ще е равно на отношението на дадените диагонали. Ако вече сме намерили такива A и B след това ще приложим една хомотетия с ц. т.О и подходящ коефициент, за да получим четериъгълник, в който вече двата диагонала ще са равни съответно на дадените.
Ясно ли е или пиша още ?

[ins-]

Това означава, че ако нашия четериъгълник е построим, то задължително при местенето на А и B ще има положение, в което [tex]\frac{BD}{AC}[/tex] ще е равно на отношението на дадените диагонали.

По дадени четири ъгъла можем да построим безброй много четириъгълници. Откъде можем да сме сигурни, че само за един от тях BD/AC=d1/d2?

Скрит текст: покажи

Не се заяждам. Просто искам да го разбера. Нещо съм болен и не съм много в ритъм. Затова чак сега пиша.

[drago]

По дадени четири ъгъла можем да построим безброй много четириъгълници. Откъде можем да сме сигурни, че само за един от тях BD/AC=d1/d2?

Ами аз не съм казал, че само за един от тях BD/AC=d1/d2. Къде го прочете? Просто построявам всички такива, ако ги има.
Виж, мисля, че специално това е ясно.

[ins-]

"Просто построявам всички такива, ако ги има."
Как?

[drago]

Чети по нататък! Досега сме на предговора.

[inveidar]

Айде и аз да попитам. Започнах да чета решението и стигнах до - Ше фиксираме ъгъл [tex]DOC[/tex]. Не съм чел после, но как ще го фиксираме, като не го знаем? Да чета ли нататък?

[ins-]

<DOC е известен, той е между продълженията на страните и по дадени <A, <B, <C, <D може да се сметне.

[drago]

Може би аз нещо не съм обяснил както трябва, нямам друго обяснение за тези въпрoси.
Как да не го знаем този ъгъл като: [tex]\angle DOC= \pi - \angle A - \angle B[/tex]! A последните 2 ъгъла са дадени!